Question

（2007•寧波）四邊形一條對角線所在直線上的點(diǎn)，如果到這條對角線的兩端點(diǎn)的距離不相等，但到另一對角線的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，則稱這點(diǎn)為這個(gè)四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)．如圖1，點(diǎn)P為四邊形ABCD對角線AC所在直線上的一點(diǎn)，PD=PB，PA≠PC，則點(diǎn)P為四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)．
（1）如圖2，畫出菱形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)．
（2）如圖3，作出四邊形ABCD的一個(gè)準(zhǔn)等距點(diǎn)．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不要求寫作法）
（3）如圖4，在四邊形ABCD中，P是AC上的點(diǎn)，PA≠PC，延長BP交CD于點(diǎn)E，延長DP交BC于點(diǎn)F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．試說明點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)．
（4）試研究四邊形的準(zhǔn)等距點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況．（說出相應(yīng)四邊形的特征及此時(shí)準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)，不必證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，則只需要在其中一條對角線上找到和對角線的交點(diǎn)不重合的點(diǎn)即可；
（2）根據(jù)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，則可作對角線BD的垂直平分線和另一條對角線所在的直線的交點(diǎn)即為所求作；
（3）只需說明PD=PB即可．根據(jù)已知的條件可以根據(jù)AAS證明△DCF≌△BCE，則∠CDB=∠CBD，進(jìn)而得到∠PDB=∠PBD，證明結(jié)論即可；
（4）根據(jù)上述確定準(zhǔn)等距點(diǎn)的方法：即作其中一條對角線的垂直平分線和另一條對角線所在的直線的交點(diǎn)．所以分析討論的時(shí)候，主要是根據(jù)兩條對角線的位置關(guān)系進(jìn)行分析討論．
解答：解：（1）如圖2，點(diǎn)P即為所畫點(diǎn)；（1分）

（2）如圖3，點(diǎn)P即為所作點(diǎn)（作法不唯一）；（2分）

（3）連接DB．
在△DCF與△BCE中，∠DCF=∠BCE，∠CDF=∠CBE，CF=CE．
∴△DCF≌△BCE（AAS），
∴CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD，
∴∠PDB=∠PBD，
∴PD=PB，
∵PA≠PC，
∴點(diǎn)P是四邊形ABCD的準(zhǔn)等距點(diǎn)．（4分）

（4）①當(dāng)四邊形的對角線互相垂直且任何一條對角線不平分另一對角線或者對角線互相平分且不垂直時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè)；
②當(dāng)四邊形的對角線不互相垂直，又不互相平分，且有一條對角線的中垂線經(jīng)過另一對角線的中點(diǎn)時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)；
③當(dāng)四邊形的對角線既不互相垂直又不互相平分，且任何一條對角線的中垂線都不經(jīng)過另一條對角線的中點(diǎn)時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)；
④四邊形的對角線互相垂直且至少有一條對角線平分另一對角線時(shí)，準(zhǔn)等距點(diǎn)有無數(shù)個(gè)．（7分）
點(diǎn)評：關(guān)鍵是熟悉菱形的性質(zhì)，能夠根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)的逆定理進(jìn)行分析作圖，能夠根據(jù)找準(zhǔn)等距點(diǎn)的方和四邊形中兩條對角線的位置關(guān)系判斷準(zhǔn)等距點(diǎn)的個(gè)數(shù)．