如圖,在△ABC中,∠C=90°,BC=8,AC=6,另有一直角梯形DEFH(HF∥DE,∠HDE=90°)的底邊DE落在CB上,腰DH落在CA上,且DE=4,∠DEF=∠CBA,AH:AC=2:3
(1)延長(zhǎng)HF交AB于G,求△AHG的面積.
(2)操作:固定△ABC,將直角梯形DEFH以每秒1個(gè)單位的速度沿CB方向向右移動(dòng),直到點(diǎn)D與點(diǎn)B重合時(shí)停止,設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒,運(yùn)動(dòng)后的直角梯形為DEFH′(如圖).
探究1:在運(yùn)動(dòng)中,四邊形CDH′H能否為正方形?若能,請(qǐng)求出此時(shí)t的值;若不能,請(qǐng)說(shuō)明理由.
探究2:在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,△ABC與直角梯形DEFH′重疊部分的面積為y,求y與t的函數(shù)關(guān)系.
【答案】分析:(1)由于三角形AHG和ACB相似,可通過(guò)相似比求出HG的值,然后根據(jù)三角形的面積計(jì)算公式即可求出三角形AHG的面積.
(2)①首先四邊形CDH′H是個(gè)矩形,如果使四邊形CDH′H成為正方形,那么需滿(mǎn)足的條件是CD=DH′,可先根據(jù)AH:AC的值,求出HC的長(zhǎng)即H′D的長(zhǎng),然后除以梯形的速度即可求出t的值.
②要分三種情況進(jìn)行討論:
一:當(dāng)E在三角形ABC內(nèi)部時(shí),即當(dāng)0≤t≤4時(shí),重合部分是整個(gè)直角梯形,因此可通過(guò)計(jì)算直角梯形的面積得出重合部分的面積.
二:當(dāng)E在三角形ABC外部,且H′在G點(diǎn)左側(cè)或G點(diǎn)上時(shí),即當(dāng)4<t≤5時(shí),重合部分是直角梯形,其面積可用:四邊形CBGH的面積一矩形CDH′H的面積來(lái)求得.
三:當(dāng)H′在G點(diǎn)右側(cè)一直到D與B重合的過(guò)程中,即當(dāng)5<t≤8時(shí),重合部分是個(gè)直角三角形.可通過(guò)計(jì)算這個(gè)直角三角形的面積來(lái)得出關(guān)于S,t的函數(shù)關(guān)系式.
解答:解:(1)∵AH:AC=2:3,AC=6
∴AH=AC=×6=4
又∵HF∥DE,
∴HG∥CB,
∴△AHG∽△ACB
=,即=
∴HG=
∴S△AHG=AH•HG=×4×=

(2)①能為正方形
∵HH′∥CD,HC∥H′D,
∴四邊形CDH′H為平行四邊形
又∠C=90°,
∴四邊形CDH′H為矩形
又CH=AC-AH=6-4=2
∴當(dāng)CD=CH=2時(shí),四邊形CDH′H為正方形
此時(shí)可得t=2秒時(shí),四邊形CDH′H為正方形.
②(Ⅰ)∵∠DEF=∠ABC,
∴EF∥AB
∴當(dāng)t=4秒時(shí),直角梯形的腰EF與BA重合.
當(dāng)0≤t≤4時(shí),重疊部分的面積為直角梯形DEFH′的面積.
過(guò)F作FM⊥DE于M,=tan∠DEF=tan∠ABC===
∴ME=FM=×2=,HF=DM=DE-ME=4-=
∴直角梯形DEFH′的面積為(4+)×2=
∴y=
(Ⅱ)∵當(dāng)4<t≤5時(shí),重疊部分的面積為四邊形CBGH的面積一矩形CDH′H的面積.
而S邊形CBGH=S△ABC-S△AHG=×8×6-=
S矩形CDH′H?=2t
∴y=-2t.
(Ⅲ)當(dāng)5<t≤8時(shí),如圖,設(shè)H′D交AB于P,
BD=8-t
=tan∠ABC=
∴PD=DB=(8-t)
∴重疊部分的面積y=S??
△PDB=PD•DB
=(8-t)(8-t)
=(8-t)2=t2-6t+24.
∴重疊部分面積y與t的函數(shù)關(guān)系式:
y=
點(diǎn)評(píng):本題著重考查了圖形平移變換、三角形相似以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等重要知識(shí)點(diǎn),
要注意的是(2)中不確定直角梯形的位置時(shí),要根據(jù)不同的情況進(jìn)行分類(lèi)討論,不要漏解.
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20、如圖,在△ABC中,∠BAC=45°,現(xiàn)將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°至△ADE的位置,使AC⊥DE,則∠B=
75
度.

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( 。
A、
1
2
B、(
2
2
7
C、
1
4
D、
1
8

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2、如圖,在△ABC中,DE∥BC,那么圖中與∠1相等的角是( 。

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度.

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14、如圖,在△ABC中,AB=BC,邊BC的垂直平分線(xiàn)分別交AB、BC于點(diǎn)E、D,若BC=10,AC=6cm,則△ACE的周長(zhǎng)是
16
cm.

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