Question

【題目】如圖，已知等腰三角形ABC的底角為30°，以BC為直徑的⊙O與底邊AB交于點(diǎn)D，過(guò)D作DE⊥AC，垂足為E．

（1）證明：DE為⊙O的切線；

（2）連接OE，若BC=8，求△OEC的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）S△OEC=2.

【解析】試題（1）由△ABC 是等腰三角形，可得CA=CB，則∠A = ∠B，又由OD=OB，可得∠ODB = ∠B，所以∠A = ∠ODB，即OD ∥AC，又OD⊥DE， AC⊥DE，所以DE是⊙O的切線繼而可證得結(jié)論；（2）連接DC．首先證△ODC為等邊三角形，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，求得AD、CD、ED、AE、EC的長(zhǎng)，然后求得S△OEC =OCEF.

∵OB=OD,

∴∠OBD=∠ODB.

又∵∠A=∠B=30°

∴∠A=∠ODB,

∴DO∥AC

∵DE⊥AC

∴OD⊥DE．

∴DE為⊙O的切線．

（2）連接DC．

∵∠OBD=∠ODB=30°，

∴∠DOC=60°．

∴△ODC為等邊三角形．

∴∠ODC=60°，

∴∠CDE=30°

又∵BC=8，

∴DC=4,

∴CE=2．

過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BC，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

∵∠ECF=∠A+∠B=60°,

∴EF=CE·sin60°=2×=

∴S△OEC =OCEF=×4×=2.

故答案為：