Question

如圖，平面直角坐標系中，點O（0，0）、A（1，0），過點A作x軸的垂線交直線y=x于點B，以O為圓心，OA為半徑的圓交y軸于C、D兩點，拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過B、D．
（1）求b，c的值；
（2）設拋物線的對稱軸交x軸于點E，連接DE并延長交⊙O于F，求EF的長；
（3）若⊙O交x軸負半軸于點G，過點C作⊙O的切線交DG的延長線于點P．
探究：點P是否在拋物線上？請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為點O（0，0）、A（1，0），所以可求出圓的半徑為1，所以點B點的坐標為（1，1），D點的坐標為（0，-1），再把B，D的坐標分別代入可求出b，c的值；
（2）先求出拋物線的對稱軸，進而求出DE的長，利用三角形相似得到FD和已知線段的關系，從而求出求EF的長；
（3）現(xiàn)設出過D、G點的直線為：y=kx+b，再把D、G點的坐標代入求出直線的解析式，再利用條件可判斷點P是否在拋物線上．
解答：（1）點B（1，1），D（0，-1），
將B（1，1），D（0，-1），代入y=x²+bx+c，得b=1，c=-1；

（2）由，∴DE=．
連接CF，由△CFD∽△EOD，得，
∴FD=，∴EF=FD-DE=

（3）點P在拋物線上．
設過D、G點的直線為：y=kx+b，
將點G（-1，0），D（0，-1）代入y=kx+b，
得直線DG為：y=-x-1．
過點C作⊙O的切線CP與x軸平行，P點的縱坐標為1，
將y=1代入y=-x-1，得：x=-2．
∴P點的坐標為（-2，1）
又當x=-2時，y=x²+x-1=1，
∴P點在拋物線y=x²+x-1上．
點評：本題考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)和圓的相關知識相結(jié)合，考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)圖象交點個數(shù)與函數(shù)解析式組成的方程組解的個數(shù)的關系以及點的存在性問題，有一定的開放性．