解:(1)DE與⊙O相切.理由如下:
如圖①,連接OD、BD,
∵BC是⊙O的直徑,
∴∠BDC=90°.
在Rt△ABD中,E為AB中點,
∴DE=BE=
AB,
∴∠EBD=∠EDB,
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB,
∵∠EBD+∠OBD=∠ABC=90°,
∴∠EDB+∠ODB=90°,即∠ODE=90°,
∴OD⊥DE,
∴DE與⊙O相切;
(2)如圖(2),連接OD,
∵AC切⊙O于點D,
∴BD⊥AC,
在Rt△BCD中,BC=2BD,
∵sinC=
=
,
∴∠C=30°,
∵∠A+∠C=∠A+∠1=90°,
∴∠1=30°.
令AD=a,在Rt△ABD中,AB=2AD=2a,
同理得AC=2AB=4a,
∴CD=AC-AD=3a,
∴AD:CD=1:3.
分析:(1)連接OD、BD,根據(jù)圓周角定理得到∠BDC=90°,則E為Rt△ABD的斜邊AB的中點,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到DE=BE=
AB,則∠EBD=∠EDB,由于∠EBD+∠OBD=90°,所以∠EDB+∠ODB=90°,即∠ODE=90°,根據(jù)切線的判定方法得到DE與⊙O相切;
(2)根據(jù)切線的性質(zhì)由AC切⊙O于點D得BD⊥AC,根據(jù)題意得到BC=2BD,利用sinC=
=
,可得到∠C=30°,則∠1=30°,令AD=a,在Rt△ABD中,AB=2AD=2a,同理得AC=2AB=4a,則CD=3a,所以AD:CD=1:3.
點評:本題考查了切線的判定與性質(zhì):經(jīng)過半徑的外端點且垂直于這條半徑的直線為圓的切線;圓的切線垂直于過切點的半徑.也考查了圓周角定理以及含30度的直角三角形三邊的關系.