Question

已知Rt△ABC中，∠ABC=90°，點O是BC上一動點，以O為圓心，OB為半徑作圓．
（1）如圖①若點O是BC的中點，⊙O與AC相交于點D，E為AB的中點，試判斷DE與⊙O的位置關系，并證明．
（2）在（1）的條件下，將Rt△ABC沿BC所在的直線向右平移，使點B與圓心O重合，如圖②，若⊙O與AC相切于點D，求AD：CD的值．

Answer 1

解：（1）DE與⊙O相切．理由如下：
如圖①，連接OD、BD，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BDC=90°．
在Rt△ABD中，E為AB中點，
∴DE=BE=AB，
∴∠EBD=∠EDB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠EBD+∠OBD=∠ABC=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°，即∠ODE=90°，
∴OD⊥DE，
∴DE與⊙O相切； 

（2）如圖（2），連接OD，
∵AC切⊙O于點D，
∴BD⊥AC，
在Rt△BCD中，BC=2BD，
∵sinC==，
∴∠C=30°，
∵∠A+∠C=∠A+∠1=90°，
∴∠1=30°．
令AD=a，在Rt△ABD中，AB=2AD=2a，
同理得AC=2AB=4a，
∴CD=AC-AD=3a，
∴AD：CD=1：3．
分析：（1）連接OD、BD，根據(jù)圓周角定理得到∠BDC=90°，則E為Rt△ABD的斜邊AB的中點，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到DE=BE=AB，則∠EBD=∠EDB，由于∠EBD+∠OBD=90°，所以∠EDB+∠ODB=90°，即∠ODE=90°，根據(jù)切線的判定方法得到DE與⊙O相切； 
（2）根據(jù)切線的性質(zhì)由AC切⊙O于點D得BD⊥AC，根據(jù)題意得到BC=2BD，利用sinC==，可得到∠C=30°，則∠1=30°，令AD=a，在Rt△ABD中，AB=2AD=2a，同理得AC=2AB=4a，則CD=3a，所以AD：CD=1：3．
點評：本題考查了切線的判定與性質(zhì)：經(jīng)過半徑的外端點且垂直于這條半徑的直線為圓的切線；圓的切線垂直于過切點的半徑．也考查了圓周角定理以及含30度的直角三角形三邊的關系．