Question

（2013•大興區(qū)一模）如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與一直線相交于A（-1，0），C（2，3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N．其頂點(diǎn)為D．
（1）拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)點(diǎn)M（3，m），求使MN+MD的值最小時(shí)m的值；
（3）若拋物線的對(duì)稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B，E為直線AC上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BD交拋物線于點(diǎn)F，以B，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得出b、c的值，繼而得出拋物線解析式，利用待定系數(shù)法可求出AC的函數(shù)解析式；
（2）利用軸對(duì)稱求最短路徑的知識(shí)，找到N點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)N′，連接N'D，N'D與直線x=3的交點(diǎn)即是點(diǎn)M的位置，繼而求出m的值．
（3）設(shè)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，分情況討論，①當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E上方，②當(dāng)點(diǎn)E在線段AC（或CA）延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E下方，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)表示出F的坐標(biāo)，將點(diǎn)F的坐標(biāo)代入拋物線解析式可得出x的值，繼而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)．

解答：解：（1）由拋物線y=-x²+bx+c過(guò)點(diǎn)A（-1，0）及C（2，3），可得：

-1-b+c=0 -4+2b+c=3

，
解得：

b=2 c=3

，
故拋物線為y=-x²+2x+3，
設(shè)直線AC解析式為y=kx+n，將點(diǎn)A（-1，0）、C（2，3）代入得：

-k+n=0 2k+n=3

，
解得：

k=1 n=1

，
故直線AC為y=x+1．

（2）作N點(diǎn)關(guān)于直線x=3的對(duì)稱點(diǎn)N′，則N′（6，3），由（1）得D（1，4），
可求出直線DN′的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

5

x+

21

5

，
當(dāng)M（3，m）在直線DN′上時(shí)，MN+MD的值最小，
則m=-

1

5

×3+

21

5

=

18

5

．

（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2）
點(diǎn)E在直線AC上，設(shè)E（x，x+1），
①當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E上方，則F（x，x+3），
∵F在拋物線上，
∴x+3=-x²+2x+3
解得，x=0或x=1（舍去），
則點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（0，1）．
②當(dāng)點(diǎn)E在線段AC（或CA）延長(zhǎng)線上時(shí)，點(diǎn)F在點(diǎn)E下方，則F（x，x-1），
∵點(diǎn)F在拋物線上，
∴x-1=-x²+2x+3，
解得x=

1- 17

2

或x=

1+ 17

2

，
即點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（

1- 17

2

，

3- 17

2

）或（

1+ 17

2

，

3+ 17

2

）
綜上可得滿足條件的點(diǎn)E為E（0，1）或（

1- 17

2

，

3- 17

2

）或（

1+ 17

2

，

3+ 17

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、軸對(duì)稱求最短路徑及平行四邊形的性質(zhì)，同學(xué)們注意培養(yǎng)自己解答綜合題的能力，將所學(xué)知識(shí)融會(huì)貫通．