隨著我市近幾年城市園林綠化建設(shè)的快速發(fā)展,對花木的需求量逐年提高.某園林專業(yè)戶計劃投資種植花卉及樹木,根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測,種植樹木的利潤y1與投資成本x成正比例關(guān)系,如圖①所示;種植花卉的利潤y2與投資成本x成二次函數(shù)關(guān)系,如圖②所示.(注:利潤與投資成本的單位:萬元)
(1)分別求出利潤y1與y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果這位專業(yè)戶計劃以8萬元資金投入種植花卉和樹木,請求出他所獲得的總利潤Z與投入種植花卉的投資量x之間的函數(shù)關(guān)系式,并回答他至少獲得多少利潤?他能獲取的最大利潤是多少?

【答案】分析:(1)設(shè)出一次函數(shù)解析式和頂點為原點的二次函數(shù)解析式,把P,Q分別代入兩個函數(shù)解析式可得相應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)總利潤=種植花卉的利潤+種植樹木的利潤,用公式法可得二次函數(shù)的最值問題.
解答:解:(1)設(shè)y1=kx,由圖①所示,函數(shù)y1=kx的圖象過(1,2),
所以2=k•1,k=2,
故利潤y1關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式是y1=2x,
∵該拋物線的頂點是原點,
∴設(shè)y2=ax2,
由圖②所示,函數(shù)y2=ax2的圖象過(2,2),
∴2=a•22,即a=
故利潤y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式是:y2=x2;

(2)設(shè)這位專業(yè)戶投入種植花卉x萬元(0≤x≤8),則投入種植樹木(8-x)萬元,他獲得的利潤是z萬元,根據(jù)題意,得z=2(8-x)+x2=x2-2x+16=(x-2)2+14,
當(dāng)x=2時,z的最小值是14,
∵0≤x≤8,
∴當(dāng)x=8時,z的最大值是32.
點評:考查二次函數(shù)的應(yīng)用;求函數(shù)解析式通常用待定系數(shù)法;掌握函數(shù)的圖象的特點是解決本題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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(1)分別求出利潤y1與y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果這位專業(yè)戶計劃以8萬元資金投入種植花卉和樹木,請求出他所獲得的總利潤Z與投入種植花卉的投資量x之間的函數(shù)關(guān)系式,并回答他至少獲得多少利潤?他能獲取的最大利潤是多少?

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