Question

已知△ABC中，∠A=60°．
（1）如圖①，∠ABC、∠ACB的角平分線交于點(diǎn)D，則∠BOC=

120

°．
（2）如圖②，∠ABC、∠ACB的三等分線分別對應(yīng)交于O₁、O₂，則∠BO2C=

100

°．
（3）如圖③，∠ABC、∠ACB的n等分線分別對應(yīng)交于O₁、O₂…O_n-1（內(nèi)部有n-1個(gè)點(diǎn)），求∠BO_n-1C（用n的代數(shù)式表示）．
（4）如圖③，已知∠ABC、∠ACB的n等分線分別對應(yīng)交于O₁、O₂…O_n-1，若∠BO_n-1C=90°，求n的值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根據(jù)角平分線的定義求得∠OBC+∠OCB，即可求出∠BOC．
（2）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根據(jù)三等分線的定義求得∠O₂BC+∠O₂CB，即可求出∠BO₂C．
（3）先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠ABC+∠ACB，再根據(jù)n等分線的定義求得∠O_n-1BC+∠O_n-1CB，即可求出∠BO_n-1C．
（4）依據(jù)（3）的結(jié)論即可求出n的值．

解答：解：∵∠BAC=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
（1）∵點(diǎn)O是∠ABC與∠ACB的角平分線的交點(diǎn)，
∴∠OBC+∠OCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=60°，
∴∠BOC=120°；

（2）∵點(diǎn)O₂是∠ABC與∠ACB的三等分線的交點(diǎn)，
∴∠O₂BC+∠O₂CB=

2

3

（∠ABC+∠ACB）=80°，
∴∠BO₂C=100°；

（3）∵點(diǎn)O_n-1是∠ABC與∠ACB的n等分線的交點(diǎn)，
∴∠O_n-1BC+∠O_n-1CB=

n-1

n

（∠ABC+∠ACB）=

n-1

n

×120°，
∴∠BO_n-1C=180°-

n-1

n

×120°=（1+

2

n

）×60°；

（4）由（3）得：（1+

2

n

）×60°=90°，
解得：n=4．

點(diǎn)評：此題練習(xí)角的等分線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)題意找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．