Question

【題目】已知：直角梯形OABC中，CB∥OA，對角線OB和AC交于點D，OC=2，CB=2，OA=4，點P為對角線CA上的一點，過點P作QH⊥OA于H，交CB的延長線于點Q，連接BP，如果△BPQ和△PHA相似，則點P的坐標為______.

Answer 1

【答案】P()

【解析】

先根據點A、點C的坐標利用待定系數法求出直線AC的解析式，當△BQP∽△AHP時和△BQP∽△PHA時，利用相似三角形的性質就可以求出點P的坐標．

∵OC=2，OA=4，

∴C（0，2），A（4，0）．

設直線AC的解析式為y=kx+b，由題意，得，

解得，

故直線AC的解析式為：y=﹣x+2．

∵QH⊥OA于H，交CB的延長線于點Q，

∴QH在點B的右側，

如圖：①當△BQP∽△AHP時，

則=，

∴BQPH=AHPQ．

∵點P在直線AC上，設點P的坐標為（x，﹣x+2）（0＜x＜4），

∴CQ=x，OH=x，PH=﹣x+2，

∵CB=2，OA=4，OH=2，

∴BQ=x﹣2，AH=4﹣x，PQ=x．

∴（x﹣2）（﹣x+2）=（4﹣x）（x），

解得x=4（舍去）．

②當△BQP∽△PHA時，

則，即BQAH=PHPQ，

（x﹣2）（4﹣x）=（﹣x+2）（x），

解得x1=，x2=4（舍去）

則y=，

則P（，）．

∴P（，）．

故答案為：P（，）．