Question

金秋十月，某果樹種植基地種植的柑橘喜獲豐收，第一天銷售量就為1650千克，第二天銷售量為1750千克，且銷售量p（千克）與天數x（天）（1≤x≤7且x為整數）滿足一次函數關系．而市場價格q（元/千克）與天數x（天）之間滿足q=-0.2x+5（1≤x≤7且x為整數）．
（1）求銷售量p（千克）與天數x（天）（1≤x≤7且x為整數）之間的函數關系式；
（2）第幾天的銷售額最大？并求這個最大值及當天價格和銷售量；
（3）由于同類產品的大量上市，銷售第二周平均每天的價格在（2）中價格的基礎上下降了8a%（q＜a＜10），平均每天的銷售量在（2）中銷售量的基礎上上漲了5a%．同時，根據市場需求，該果園基地在第二周還將4100千克的柑橘深加工，將橘子果肉與冰糖水等按4：6的比例制成橘子罐頭，并按每瓶500克的方式裝瓶出售（制作過程中的損耗忽略不計），已知平均每千克的橘子含0.6千克的果肉．每瓶橘子罐頭的成本為3.5元，按比成本價高20a%的售價出售，該基地第二周將這批橘子罐頭全部售出，第二周該果園基地銷售總額共計143500元，請你參考以下數據，估算出a的整數值．（

6

≈2.4，

8

≈2.8，

174

≈13.4）

Answer 1

分析：（1）設p=kx+b，根據第一天銷售量就為1650千克，第二天銷售量為1750千克，可求出價格p與天數x之間的函數關系式；
（2）根據（1）所得的關系式及銷售量q（千克）與天數x（天）之間滿足q=100x+1550，可表示出銷售收入的二次函數表達式，求最值即可得出答案；
（3）根據第二周價格與銷量的變化，第二周該果園基地銷售總額共計143500元可得出關于a的方程，解出即可得出答案．

解答：解：（1）設p=kx+b（k≠0）由題得：

k+b=1650 2k+b=1750

，
解得：

k=100 b=1550

，
∴p=100x+1550；

（2）設日銷售額為W元，則
W=pq=（100x+1550）（-0.2x+5）=-20x²+190x+7750，
∵-20＜0，
∴當x=-

190

2×(-20)

=

19

4

=4.75時，W最大，
但x為整數，
∴當x=5時，W_最大=8200，
此時q=-0.2×5+5=4，p=100×5+1550=2050，
∴第5天的銷售額最大，最大值為8200元，當天價格為4元/千克，銷售量2050千克；

（3）由題意，一瓶橘子罐頭含果肉500×

4

4+6

÷1000=0.2（千克），
則 7×4（1-8a%）×2050（1+5a%）+

4100×0.6

0.2

×3.5（1+20a%）=143500，
設a%=t，則原方程整理變?yōu)椋?60t²-48t+3=0，
解得：t=

6± 6

40

，
則t₁≈0.09，t₂≈0.21，
∴a₁≈9，a₂≈21＞10（舍去）．
∴a的整數值為9．

點評：此題考查了二次函數的應用，涉及了待定系數法求函數解析式及公式法求二次函數最值的知識，綜合性較強，難度較大，解答本題的關鍵是認真審題，將實際問題轉化為數學問題解答．