如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，∠AOB=β，∠BOC=．將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得△ADC，連接OD．

（1）當β=110°，α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由．

（2）探究：若β=110°，那么α為多少度，△AOD是等腰三角形？（只要寫出探究結(jié)果）

（3）請寫出△AOD是等邊三角形時α、β的度數(shù)．

 

【答案】

（1）直角三角形；（2）α=125°或110°或140°；（3）當α=120°且β=120°，△AOD是等邊三角形．

【解析】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和全等三角形判斷的知識點

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)∴190°-α=α-60°得△ADC，即可證明△COD是等邊三角形，∠ADO=∠ADC-∠CDO即可證明△AOD是直角三角形；

（2）找到變化中的不變量，然后利用旋轉(zhuǎn)及全等的性質(zhì)即可做出解答；

（3）當△AOD是等邊三角形時，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)即可求出α、β的度數(shù)．

（1）△AOD是直角三角形，理由如下：

∵將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)∴190°-α=α-60°得△ADC

∴△BOC≌△ADC，∠DCO=190°-α=α-60°

∴CO=CD，∠ADC=∠BOC=α=150°

∴△COD是等邊三角形

∴∠CDO=∴190°-α=α-60°

∴∠ADO=∠ADC-∠CDO=150°-60°=90°

∴△AOD是直角三角形，

（2）當α=125°或110°或140°，△AOD是等腰三角形，

（3）當α=120°且β=120°，△AOD是等邊三角形．

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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21、如圖，點D是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，將△BDC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°，試畫出旋轉(zhuǎn)后的三角形，并指出圖中的全等圖形以及它們的對應頂點、對應邊和對應角．

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16、如圖，點P是等邊三角形ABC內(nèi)一點，BP=5cm，△PAB繞點B旋轉(zhuǎn)后能與△MCB重合，連接PM，則PM=
5
cm．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

21、如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，∠AOB=110°，∠BOC=a．以OC為一邊作等邊三角形OCD，連接AC、AD．
（1）當a=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
（2）探究：當a為多少度時，△AOD是等腰三角形？

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•清流縣質(zhì)檢）星期天，小明在解答下列題目時卡殼了．
題目1：如圖①，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，O為△ABC內(nèi)的一點，OC=1，OA=
3
，OB=
5
．求∠AOC的度數(shù)．
小明去請教小穎正在解答下列題目．
題目2：如圖②，點O是等邊三角形ABC內(nèi)的一點，將△BCO繞C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△ADC，連接OD．
（1）試判斷△COD的形狀，并說明理由；
（2）當∠COB=150°時，試判斷△AOD的形狀，并寫出OA、OB、OC三者之間的等量關(guān)系式．
小穎說：“等等，等我做完了，我們一起來看．”小明看完，小穎做完后高興地說：“哈哈，太好了，我會了．”聰明的同學，你能先解答完題目2，再根據(jù)解答所得到的啟迪來完成題目1嗎？寫出你的解答過程．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

如圖：點O是等邊△ABC內(nèi)一點，∠AOB=110°，∠BOC=α．將線段OC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段CD，連接OD、AD．
（1）求證：AD=BO；
（2）當α=150°時，試判斷△AOD的形狀，并說明理由；
（3）探究：當α為多少度時（直接寫出答案），△AOD是等腰三角形？

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