Question

【題目】如圖，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠A＝∠B＝30°，點D在線段AB上運動（點D不與A、B重合），連接CD，作∠CDE＝30°，DE交BC于點E．

(1)AB＝；

(2)當AD等于多少時，△ADC≌△BED，請說明理由；

(3)在點D的運動過程中，△CDE的形狀可以是等腰三角形嗎？若可以，求出AD的長；若不可以，說明理由.

Answer 1

【答案】(1)2；(2)當AD等于2-2時，△ADC≌△BED，理由見解析；(3)△CDE可以是等腰三角形，此時AD的長為2-2或.

【解析】

(1)過C作CM⊥AB于M，求出CM，根據(jù)勾股定理求出AM，代入AB=2AM求出即可．

(2)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和判定得出BD=AC，求出BD，即可求出答案．

(3)分類討論：當CD=DE時；當DE=CE時；當EC=CD時；然后利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理求出∠ADC或∠ACD的度數(shù)，繼而根據(jù)勾股定理進行求解即可得.

(1)過C作CM⊥AB于M，

∵AC=BC，

∴AB=2AM，∠AMC=90°，

∵AC=2，∠A=30°，

∴CM=AC=1，

由勾股定理得：AM=，

∴AB=2AM=2，

故答案為：2；

(2)當AD等于2-2時，△ADC≌△BED，

理由是：∵∠A=∠CDE=∠B=30°，

∴∠ACD+∠ADC=150°，∠ADC+∠EDB=150°，

∴∠ACD=∠EDB，

∴當AC=BD時，△ADC≌△BED，

即BD=AC=2，

∴AD=AB-BD=2-2，

即得AD=2-2時，△ADC≌△BED；

(3)△CDE可以是等腰三角形，

∵△CDE是等腰三角形，

①如圖1，當CD=DE時，

∵∠CDE=30°，

∴∠DCE=∠DEC=75°，

∴∠ADC=∠B+∠DCE=105°，

過點D作DF⊥AC，垂足為F，則∠AFD=∠CFD=90°

∵∠A=30°，

∴∠ADF=60°，AD=2DF，

∴∠CDF=45°，

∴∠FCD=45°=∠FDC，

∴CF=DF，

在Rt△ADF中，AF=，

∵AF+CF=AC=2，

∴DF+DF=2，

∴DF=，

∴AD=2-2；

②如圖2，當DE=CE時，

∵∠CDE=30°，

∴∠DCE=∠CDE=30°，

∴∠ACD=120°-30°=90°，

∵∠A=30°，

∴CD=AD，

在Rt△ACD中，AD2=AC2+CD2，

即AD2=22+(AD)2，

∴AD=；

③當EC=CD時，

∠BCD=180°-∠CED-∠CDE=180°-30°-30°=120°，

∵∠ACB=180°-∠A-∠B=120°，

∴此時，點D與點A重合，不合題意，

綜上，△ADC可以是等腰三角形，此時AD的長為2-2或AD=.