已知△ABC內(nèi)接于⊙O,D是BC或其延長線上一點,AE是△ABC外接圓的一條弦,若∠BAE=∠CAD.求證:AD•AE為定值.
作業(yè)寶

證明:如圖(1),當點D是BC上任意一點且∠BAE=∠CAD時,連接BE,
則∠E=∠C,
∠BAE=∠CAD,
∴△ABE∽△ADC.
,
即AD•AE=AB•AC為定值.
如圖(2),當點D在BC的延長線上時,
∠BAE=∠CAD.此時,∠ACD=∠AEB.
∴△AEB∽△ACD,

即AD•AE=AB•AC為定值.
綜上所述,當點D在BC邊上或其延長線上時,
只要∠CAD=∠BAE,總有AD•AE為定值.
分析:由于題干中D是BC或其延長線上一點,所以應(yīng)分兩種情況進行討論;
(1)連BE,可得△ABE∽△ADC,進而可得結(jié)論;
(2)當其在BC的延長線上時,同樣亦可得△AEB∽△ACD,所以當點D在BC邊上或其延長線上時,總有AD•AE為定值.
點評:本題主要考查了相似三角形的判定及性質(zhì)問題,可先探求定值,當AD⊥BC,AE為圓的直徑時,滿足∠BAE=∠CAD這一條件,不難發(fā)現(xiàn)△ACD∽△AEB,所以AD•AE=AB•AC,因為已知AB,AC均為定值.再就一般情況分點D在BC上,點D在BC的延長線上兩種情況分別證明.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,D是⊙O上一點,連接BD、CD、AC、BD交于點E.
(1)請找出圖中的相似三角形,并加以證明;
(2)若∠D=45°,BC=2,求⊙O的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,AB=BC=4cm,AO⊥BC于D,點P、Q分別從B、C兩點同時出發(fā),其中點P沿BC向精英家教網(wǎng)終點C運動,速度為1cm/s;點Q沿CA向終點A運動,速度為2cm/s,設(shè)它們運動的時間為x(s).
(1)求證:△ABC為等邊三角形;
(2)當x為何值時,PQ⊥AC;
(3)當PQ經(jīng)過圓心O時,求△PQD的面積.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

15、已知△ABC內(nèi)接于⊙O,AD,BD為⊙O的切線,作DE∥BC,交AC于E,連EO并延長交BC于F,求證:BF=FC.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•樊城區(qū)模擬)如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,弦AD交BC于E,過點D的切線MN交直線AB于M,交直線AC于N.
(1)求證:AE•DE=BE•CE;
(2)連接DB,CD,若MN∥BC,試探究BD與CD的數(shù)量關(guān)系;
(3)在(2)的條件下,已知AB=6,AN=15,求AD的長.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•永州)如圖,已知△ABC內(nèi)接于⊙O,BC是⊙O的直徑,MN與⊙O相切,切點為A,若∠MAB=30°,則∠B=
60
60
度.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案