Question

如圖1，等腰直角三角形ABC的腰長是2，∠ABC=90度．以AB為直徑作半圓O，M是BC上一動點（不運動至B、C兩點），過點M引半圓為O的切線，切點是P，過點A作AB的垂線AN，交切線MP于點N，AC與ON、MN分別交于點E、F．
（1）證明：△MON是直角三角形；
（2）當BM=時，求的值（結果不取近似值）；
（3）當BM=時（圖2），判斷△AEO與△CMF是否相似？如果相似，請證明；如果不相似，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OP，通過證Rt△MOP≌Rt△MOB和Rt△NOP≌Rt△NOA，說明∠MOP=∠MOB和∠NOP=∠NOA，從而推出∠MON=90°；
（2）由（1）的結論，易證得△BOM∽△ANO，得AN：OB=OA：BM，由此可求得AN的長；由于NA、BM同垂直于AB，即AN∥BC，根據平行線分線段成比例定理，即可求得CF：AF的值．
（3）當BM=時，Rt△OBM中，易求得∠OMB=60°；根據切線長定理知：∠OMP=60°；因此∠CMF=60°；由（2）的相似三角形知∠AOE=∠OMB=60°；由此可證得∠AOE=∠CMF；又知△ABC為等腰直角三角形，即∠C=∠BAC=45°，由此可證得△AEO與△CMF．
解答：（1）證明：連接OP；
∵MB和MP是圓的切線，∴MP=MB；
又∵OP=OB，OM=OM，
∴Rt△MOP≌Rt△MOB；
∴∠POM=∠BOM，同理∠AON=∠PON；
∵∠POM+∠BOM+∠AON+∠PON=180°，
∴2（∠NOP+∠POM）=180°即∠NOP+∠POM=90°；
∴△NOM是直角三角形．

（2）解：∵△ABC是等腰直角三角形，AB=BC=2，
∴AO=OB=1，CM=BC-BM=2-；
∵∠MOB+∠AON=∠AON+∠ANO=90°
∴∠BOM=∠ANO；
∴Rt△OBM∽Rt△NAO，
∴OB：AN=BM：AO，得AN=；
∵AN⊥AB，CB⊥AB，
∴AN∥BC；
∴CF：AF=CM：AN=（2-）：=2-3；

（3）解：∵BM=，OB=1，
∴tan∠MOB=MB：OB=，即∠MOB=30°；
∴∠FMC=∠OMB=60°；
∴∠CMF=180°-2∠OMB=60°，∠EOA=180°-∠NOM-∠MOB=60°；
又∵∠C=∠OAE=45°
∴△AEO∽△CMF．
點評：本題主要考查了切線的性質、全等三角形和相似三角形的判定和性質、直角三角形的性質以及銳角三角函數的概念，涉及的知識點較多，難度較大．