Question

已知，在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，D是直線AC上一點，連接BD，作AE⊥BD，垂足為E，連接EC.

（1）如圖1，D在AC延長線上，AC > CD，求證：EA-EB=EC；

（2）當D在AC上（圖2）或D在CA延長線上（圖3）時，EA、EB、EC三條線段的數(shù)量關(guān)系如何？直接寫出你探究的結(jié)論.

 

Answer 1

（1）證明：在AE上截取AF=EB，連接CF--------1

∵AE⊥BD

∴∠AEB=90°

∴∠AEB=∠ACB=90°

又∵∠AGC=∠BGE

∴∠GAC=∠GBE------------------------------------------------2

又∵CA=CB，AF=BE

∴△FAC≌△EBC---------------------------------------------------------------------------3

∴FC=EC，∠ ACF=∠BCE

∴∠ECF=∠BCE+∠GCF=∠ ACF+∠GCF=∠ACB=90°----------------------------4

∴EF=--------------------------------------5

∴EA- EB= EA- AF= EF=EC

即EA- EB= EC               ---------------------------------------------------6

（2）當D在AC上（圖2）時， EB- EA = EC     -------------------------9

    當 D在CA延長線上（圖3）時，EA+EB= EC   ----------------------12