Question

數(shù)學課上，李老師出示了這樣一道題目：如圖1，正方形ABCD的邊長為12，P為邊BC延長線上的一點，E為DP的中點，DP的垂直平分線交邊DC于M，交邊AB的延長線于N．當CP=6時，EM與EN的比值是多少？
經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：過E作直線平行于BC交DC，AB分別于F，G，如圖2，則可得：

DF

FC

=

DE

EP

，因為DE=EP，所以DF=FC．可求出EF和EG的值，進而可求得EM與EN的比值．
（1）請按照小明的思路寫出求解過程．
（2）小東又對此題作了進一步探究，得出了DP=MN的結論，你認為小東的這個結論正確嗎？如果正確，請給予證明；如果不正確，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）過E作EG∥BC交DC、AB分別于F、G，如圖2，結合平行線分線段成比例定理則可得：

DF

FC

=

DE

EP

，因為DE=EP，可知所以DF=FC，可求出EF和EG的值，再利用AB∥CD，可得EM：EN=EF：EG，進而可求得EM與EN的比值；
（2）作MH∥BC交AB于點H，先利用AB∥CD，可得∠MNH=∠CMN，結合對頂角的性質，易得∠MNH=∠CMN=∠DME=90°-∠CDP，而∠DPC=90°-∠CDP，那么∠DPC=∠MNH，再加上一對直角，和一組對應邊（HM=CD），可證兩三角形△DPH和△MNH全等，從而有DP=MN．

解答：（1）解：過E作直線GE平行于BC交DC，AB分別于點F，G，（如圖2）
則

DF

FC

=

DE

EP

，

EM

EN

=

EF

EG

，GF=BC=12，
∵DE=EP，
∴DF=FC，
∴EF=

1

2

CP=

1

2

×6=3，EG=GF+EF=12+3=15，
∴

EM

EN

=

EF

EG

=

3

15

=

1

5

；

（2）證明：正確，
作MH∥BC交AB于點H，（如圖1）
則MH=CB=CD，∠MHN=90°，
∵∠DCP=180°-90°=90°，
∴∠DCP=∠MHN，
∵NE是DP的垂直平分線，
∵∠MNH=∠CMN=∠DME=90°-∠CDP，∠DPC=90°-∠CDP，
∴∠DPC=∠MNH，
∴△DPC≌△MNH，
∴DP=MN．

點評：本題利用了平行線分線段成比例定理、三角形中位線定理、平行線性質、全等三角形的判定和性質等知識．關鍵是作合適的輔助線，使所求的線段在一個三角形中．