【題目】如圖,拋物線與x軸交于A(1,0)、B(﹣3,0)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C(0,3),設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D.

(1)求該拋物線的解析式與頂點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)試判斷△BCD的形狀,并說明理由.
(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以P,A,C為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)

解:設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c

由拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0,3),可知c=3.即拋物線的解析式為y=ax2+bx+3.

把點(diǎn)A(1,0)、點(diǎn)B(﹣3,0)代入,得 解得a=﹣1,b=﹣2

∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3.

∵y=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4

∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(﹣1,4)


(2)

解:△BCD是直角三角形.

理由如下:解法一:過點(diǎn)D分別作x軸、y軸的垂線,垂足分別為E、F.

∵在Rt△BOC中,OB=3,OC=3,

∴BC2=OB2+OC2=18

在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF﹣OC=4﹣3=1,

∴CD2=DF2+CF2=2

在Rt△BDE中,DE=4,BE=OB﹣OE=3﹣1=2,

∴BD2=DE2+BE2=20

∴BC2+CD2=BD2

∴△BCD為直角三角形.

解法二:過點(diǎn)D作DF⊥y軸于點(diǎn)F.

在Rt△BOC中,∵OB=3,OC=3

∴OB=OC∴∠OCB=45°

∵在Rt△CDF中,DF=1,CF=OF﹣OC=4﹣3=1

∴DF=CF

∴∠DCF=45°

∴∠BCD=180°﹣∠DCF﹣∠OCB=90°

∴△BCD為直角三角形


(3)

解:①△BCD的三邊, = = ,又 = ,故當(dāng)P是原點(diǎn)O時(shí),△ACP∽△DBC;

②當(dāng)AC是直角邊時(shí),若AC與CD是對(duì)應(yīng)邊,設(shè)P的坐標(biāo)是(0,a),則PC=3﹣a, = ,即 = ,解得:a=﹣9,則P的坐標(biāo)是(0,﹣9),三角形ACP不是直角三角形,則△ACP∽△CBD不成立;

③當(dāng)AC是直角邊,若AC與BC是對(duì)應(yīng)邊時(shí),設(shè)P的坐標(biāo)是(0,b),則PC=3﹣b,則 = ,即 = ,解得:b=﹣ ,故P是(0,﹣ )時(shí),則△ACP∽△CBD一定成立;

④當(dāng)P在x軸上時(shí),AC是直角邊,P一定在B的左側(cè),設(shè)P的坐標(biāo)是(d,0).

則AP=1﹣d,當(dāng)AC與CD是對(duì)應(yīng)邊時(shí), = ,即 = ,解得:d=1﹣3 ,此時(shí),兩個(gè)三角形不相似;

⑤當(dāng)P在x軸上時(shí),AC是直角邊,P一定在B的左側(cè),設(shè)P的坐標(biāo)是(e,0).

則AP=1﹣e,當(dāng)AC與DC是對(duì)應(yīng)邊時(shí), = ,即 = ,解得:e=﹣9,符合條件.

總之,符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為:


【解析】(1)利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式;(2)利用勾股定理求得△BCD的三邊的長,然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷;(3)分p在x軸和y軸兩種情況討論,舍出P的坐標(biāo),根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等即可求解.

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