Question

如圖(1)，⊙O中AB是直徑，C是⊙O上一點，∠ABC＝45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，點D在線段AC上．

(1)證明：B、C、E三點共線；

(2)若M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，證明：MN＝OM；

(3)將△DCE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜90°)后，記為△D₁CE₁(圖2)，若M₁是線段BE₁的中點，N₁是線段AD₁的中點，M₁N₁＝OM₁是否成立？若是，請證明；若不是，說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠BCA＝90°，∠DCE是直角，即可得到∠BCA＋∠DCE＝90°＋90°＝180°； 　　(2)連接BD，AE，ON，延長BD交AE于F，先證明Rt△BCD≌Rt△ACE，得到BD＝AE，∠EBD＝∠CAE，則∠CAE＋∠ADF＝∠CBD＋∠BDC＝90°，即BD⊥AE，再利用三角形的中位線的性質(zhì)得到ON＝BD，OM＝AE，ON∥BD，AE∥OM，于是有ON＝OM，ON⊥OM，即△ONM為等腰直角三角形，即可得到結(jié)論； 　　(3)證明的方法和(2)一樣． 　　解答：(1)證明：∵AB是直徑， 　　∴∠BCA＝90°， 　　而等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角， 　　∴∠BCA＋∠DCE＝90°＋90°＝180°， 　　∴B、C、E三點共線； 　　(2)連接BD，AE，ON，延長BD交AE于F，如圖， 　　∵CB＝CA，CD＝CE， 　　∴Rt△BCD≌Rt△ACE， 　　∴BD＝AE，∠EBD＝∠CAE， 　　∴∠CAE＋∠ADF＝∠CBD＋∠BDC＝90°，即BD⊥AE， 　　又∵M是線段BE的中點，N是線段AD的中點，而O為AB的中點， 　　∴ON＝BD，OM＝AE，ON∥BD，AE∥OM； 　　∴ON＝OM，ON⊥OM，即△ONM為等腰直角三角形， 　　∴MN＝OM； 　　(3)成立．理由如下： 　　和(2)一樣，易證得Rt△BCD1≌Rt△ACE1，同里可證BD1⊥AE1，△ON1M1為等腰直角三角形， 　　從而有M1N1＝OM1． 　　點評：本題考查了直徑所對的圓周角為直角和三角形中位線的性質(zhì)；也考查了三角形全等的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．

提示：

圓周角定理；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；三角形中位線定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．