Question

如圖1，正方形ABCD和正方形QMNP，∠M=∠B，M是正方形ABCD的對稱中心，MN交AB于F，QM交AD于E．

（1）求證：ME=MF．
（2）如圖2，若將原題中的“正方形”改為“菱形”，其他條件不變，探索線段ME與線段MF的關(guān)系，并加以證明．
（3）如圖3，若將原題中的“正方形”改為“矩形”，且AB=mBC，其他條件不變，則線段ME與線段MF的數(shù)量關(guān)系是________．

Answer 1

解：（1）過點M作MH⊥AD于H，MG⊥AB于G，連接AM，如圖1，
∵M是正方形ABCD的對稱中心，
∴M是正方形對角線的交點，
∴AM平分∠BAD，
∴MH=MG，
∵正方形ABCD、QMNP，
∴∠BAD=∠EMF=90°，
∴∠HMG=90°，
∴∠EMF=∠MGF，
∴∠EMH=∠FMG，
∵∠MHE=∠MGF=90°，
∴△MHE≌△MGF，
∴ME=MF；

（2）ME=MF．
證明：過點M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，連接AM，如圖2，
∵M是菱形ABCD的對稱中心，
∴M是菱形ABCD對角線的交點，
∴AM平分∠BAD，
∴MH=MG，
∵∠EMF=∠B，
∴∠QMN+∠BAD=180°，
又∵∠HMG+∠BAD=180°，
∴∠QMN=∠HMG，
∴∠QMN-∠HMN=∠HMG-∠HMN，
∴∠EMH=∠FMG，
又∵∠MHE=∠MGF=90°，且MH=MG，
∴△MHE≌△MGF，
∴ME=MF；

（3）MF=mME．
證明：過M作MH⊥AB于H，MG⊥AD與G，如圖3，
∵M是矩形ABCD的對稱中心，
∴M是矩形ABCD對角線的交點，又AB=mBC，
則MG=AB，MH=BC，即MG=mMH，
∴∠A=∠MHA=∠MGA=90°，
∴四邊形AHMG為矩形，則∠HMG=90°，
又∵四邊形MNPQ是矩形，
∴∠NMQ=∠HMG=90°，
∴∠NMQ-∠HMF=∠HMG-∠HMF，即∠EMH=∠FMG，
∴△EMH∽△FMG，
∴==，即MF=mME．
故答案為：MF=mME．
分析：（1）過M作MH⊥AD于H，MG⊥AB與G，連接AM，由M為正方形的對稱中心得到M為正方形對角線的交點，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AM平分∠BAD，根據(jù)角平分線性質(zhì)得到MH與MG相等，接下來證明△MHE和△MGF全等，還差一個條件，由正方形的內(nèi)角為直角得到∠EMF=90°，又四邊形AHMG三個內(nèi)角為直角得到AHMG為矩形，則∠HMG=90°，進而得到∠EMF=∠HMG，在等式兩邊減去∠HMF，得到∠EMH=∠FMG，利用“AAS”證明△MHE和△MGF全等，得到ME=MF；
（2）由M為菱形的對稱中心得到M為菱形對角線的交點，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AM平分∠BAD，根據(jù)角平分線性質(zhì)得到MH與MG相等，然后由已知的∠EMF=∠B，得到∠QMN=∠HMG，兩邊都減去∠HMF，得到∠EMH=∠FMG，利用“AAS”得到△MHE≌△MGF，進而得到ME=MF；
（3）過M作MH⊥AB于H，MG⊥AD與G，四邊形AHMG三個內(nèi)角為直角得到AHMG為矩形，從而得到MG等于AB的一半，MH等于BC的一半，由AB=mBC得到MG=mMH，且∠NMQ=∠HMG，兩邊減去∠HMF，得到∠EMH=∠FMG，又∠MHE=∠MGF=90°，根據(jù)兩對角相等的兩三角形相似得到△EMH和△FMG相似，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得證．
點評：此題綜合考查了矩形、菱形及正方形的性質(zhì)，考查了全等及相似的判斷與性質(zhì)，是一道中檔題．