在平面直角坐標(biāo)系中,已知等腰梯形ABCD的三個頂點(diǎn)A(-2,0),B(6,0),C(4,6),對角線AC與BD相交于點(diǎn)E.
(1)求E的坐標(biāo);
(2)若M是x軸上一動點(diǎn),求MC+MD的最小值;
(3)在y軸正半軸上求點(diǎn)P,使以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形.

【答案】分析:(1)作EF⊥AB,根據(jù)已知,可得出OD=6,F(xiàn)B=4,OF=2,然后,根據(jù)相似,即可求出EF的長,即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo);
(2)作點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D′,則D′的坐標(biāo)為(0,-6),根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式,算出即可;
(3)設(shè)點(diǎn)P(0,y),y>0,分三種情況,①PC=BC;②PB=BC;③PB=PC;解答出即可;
解答:解:(1)作EF⊥AB,
=,
∵梯形ABCD是等腰梯形,
∴AE=BE,
∴在等腰三角形ABE中,AF=BF,
∵A(-2,0),B(6,0),C(4,6),
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,6),
∴OD=6,F(xiàn)B=4,OF=2,
=,
∴EF=4,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2,4);

(2)由題意可得,
點(diǎn)D關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)D′的坐標(biāo)為(0,-6),
CD′與x軸的交點(diǎn)為M,
∴此時,MC+MD=CD′為最小值,
∴CD′==4;

(3)設(shè)點(diǎn)P(0,y),y>0,
分三種情況,①PC=BC;
∴42+(6-y)2=22+62,
解得,y=6±
②PB=BC;
∴62+y2=22+62
解得,y=2,y=-2(舍去);
③PB=PC;
∴62+y2=42+(6-y)2,
解得,y=
綜上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為:(0,6+),(0,6-),(0,2),(0,).
點(diǎn)評:本題主要考查了等腰梯形、等腰三角形、最短路線問題及坐標(biāo)與圖形的關(guān)系,鍛煉了學(xué)生對于知識的綜合運(yùn)用能力和良好的空間想象能力.
練習(xí)冊系列答案
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28、在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P到x軸的距離為8,到y(tǒng)軸的距離為6,且點(diǎn)P在第二象限,則點(diǎn)P坐標(biāo)為
(-6,8)

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10、在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P1(a,-3)與點(diǎn)P2(4,b)關(guān)于y軸對稱,則a+b=
-7

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在平面直角坐標(biāo)系中,有A(2,3)、B(3,2)兩點(diǎn).
(1)請再添加一點(diǎn)C,求出圖象經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系式.
(2)反思第(1)小問,考慮有沒有更簡捷的解題策略?請說出你的理由.

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,開口向下的拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),D是拋物線的頂點(diǎn),O為精英家教網(wǎng)坐標(biāo)原點(diǎn).A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是方程x2-4x-12=0的兩根,且cos∠DAB=
2
2

(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)作AC⊥AD,AC交拋物線于點(diǎn)C,求點(diǎn)C的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)解析式;
(3)在(2)的條件下,在x軸上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使△APC的面積最大?如果存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△APC的最大面積;如果不存在,請說明理由.

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18、在平面直角坐標(biāo)系中,把一個圖形先繞著原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)的角度為θ,再以原點(diǎn)為位似中心,相似比為k得到一個新的圖形,我們把這個過程記為【θ,k】變換.例如,把圖中的△ABC先繞著原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)的角度為90°,再以原點(diǎn)為位似中心,相似比為2得到一個新的圖形△A1B1C1,可以把這個過程記為【90°,2】變換.
(1)在圖中畫出所有符合要求的△A1B1C1;
(2)若△OMN的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為O(0,0)、M(2,4)、N(6,2),把△OMN經(jīng)過【θ,k】變換后得到△O′M′N′,若點(diǎn)M的對應(yīng)點(diǎn)M′的坐標(biāo)為(-1,-2),則θ=
0°(或360°的整數(shù)倍)
,k=
2

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