Question

如圖1，點(diǎn)A（m，m+1）、B（m+3，m-1）均在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，正比例函數(shù)y=nx的圖象交反比例函數(shù)圖象于A、C兩點(diǎn)．
（1）求出k值和線段AC的長(zhǎng)．
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)D，使∠ADC=90°？若存在，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．
（3）如圖2，若E（-4，3），點(diǎn)P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試判斷

50-CP•AP

EP2

的值是否發(fā)生變化？若不變，求出其值；若變化，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）利用圖象上點(diǎn)的性質(zhì)將A，B分別代入解析式，即可得出m的值，再利用反比例函數(shù)的對(duì)稱性得出AC的長(zhǎng)即可；
（2）首先在y軸的正半軸上取OD=OA=5，連接AD、CD，利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理進(jìn)而求出即可；
（3）利用已知首先證明△ENO≌△OMA，進(jìn)而得出∠EOA=90°再利用勾股定理得出即可．

解答：解：（1）∵點(diǎn)A（m，m+1）、B（m+3，m-1）均在反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象上，
∴m（m+1）=（m+3）（m-1），
∴解得：m=3．
∴A（3，4）、B（6，2）．
∴k=m（m+1）=12；
如圖1，過(guò)A作AM⊥x軸于M，
則OM=3，AM=4，
∴AO=5．
根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱性，AC=2AO=10；

（2）如圖1，在y軸的正半軸上取OD=OA=5，連接AD、CD．
則OD=OA=OC．
則∠OCD=∠ODC，∠OAD=∠ODA．
在△ACD中，有∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°．
即∠OCD+∠ODC+∠OAD+∠ODA=180°．
∴∠ODC+∠ODA=90°，
即∠ADC=90°．
∴D（0，5）．
同理在y軸負(fù)半軸上還有點(diǎn)：D′（0，-5）．

另法：如圖1，設(shè)OD=t，由AD²+CD²=AC²，
AE²+ED²+FD²+CF²=AC²，
3²+（t-4）²+3²+（t+4）²=10²，
解得：t=±5．
則D（0，5）或D′（0，-5）．

（3）

50-CP•AP

EP2

的值不發(fā)生變化，理由為：
如圖2，連EO，過(guò)E作EN⊥x軸于N，過(guò)A作AM⊥x軸于M．
∵E（-4，3），A（3，4），
∴EO=OA=5，EN=OM=3，NO=AM=4，
在△ENO和△OMA中，
∵

EO=AO EN=OM NO=AM

，
∴△ENO≌△OMA（SSS），
∴∠EON=∠OAM，
∴∠EON+∠AOM=∠OAM+∠AOM=90°，
∴∠EOA=90°，
設(shè)CP=t，則AP=10-t，
CP•AP=t（10-t）=10t-t²，
而EP²=OP²+EO²=（5-t）²+5²=50-10t+t²．
∴50-CP•AP=50-（10t-t²）=50-10t+t²．
∴50-CP•AP=EP²，
∴

50-CP•AP

EP2

=1，
即

50-CP•AP

EP2

的值不發(fā)生變化，其值恒為1．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用以及全等三角形的證明和勾股定理等知識(shí)，利用勾股定理表示出EP²與CP•AP是解本題第二問(wèn)的關(guān)鍵．