Question

如圖(A)，△ABC的兩內(nèi)角平分線BD和CE交于F．

(1)求證：F到AB，BC和AC邊的距離相等；

(2)連接AF，求證：AF平分∠BAC；

(3)求證：三角形中三條內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn)，而且這個(gè)點(diǎn)到三角形三條邊的距離相等；

(4)怎樣找出在△ABC內(nèi)到三邊距離相等的點(diǎn)？

(5)若將“△ABC的兩個(gè)內(nèi)角平分線BD和CE交于F”改為“△ABC的兩個(gè)外角平分線BD和CE交于F”，如圖(b)所示，那么(1)～(3)題的結(jié)論是否會(huì)改變？怎樣找出在△ABC外到三條邊所在的直線距離相等的點(diǎn)？滿足條件的這樣的點(diǎn)共有多少個(gè)？

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：過點(diǎn)F作FM，F(xiàn)N，F(xiàn)Q分別垂直于AB，AC，BC，垂足為M，N，Q． 　　∵BD是△ABC的角平分線，點(diǎn)F在BD上，∴FM＝FQ．同理FN＝FQ． 　　∴FM＝FN＝FQ．即點(diǎn)F到三邊AB，AC，BC的距離相等． 　　(2)證明：由(1)可知FM＝FN∵FM⊥AB，F(xiàn)N⊥AC，∴AF平分∠BAC． 　　(3)證明：由(1)，(2)可知：三角形中三條內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)，而且這點(diǎn)到三角形三邊的距離相等． 　　(4)解：只需作兩個(gè)內(nèi)角的平分線即可． 　　(5)解：結(jié)論不改變．只需作每個(gè)頂點(diǎn)處的兩個(gè)外角，共計(jì)作出六個(gè)外角的平分線，因此得出三個(gè)點(diǎn)．另外在內(nèi)部還有一個(gè)，所以共計(jì)有四個(gè)．

提示：

(1)通過此題達(dá)到鞏固角平分線的性質(zhì)和判定的目的． 　　(2)此題提供了證明“三線共點(diǎn)”的一種常用方法：先確定兩條直線交于某一點(diǎn)，再證明這一點(diǎn)在第三條直線上． 　　(3)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)題目的條件進(jìn)行類比聯(lián)想(第(5)題)，觀察結(jié)論如何變化，培養(yǎng)發(fā)散思維能力．