Question

如圖正方形ABCD中，以D為圓心，DC為半徑作弧與以BC為直徑的⊙O交于點P，⊙O交AC于E，CP交AB于M，延長AP交⊙O于N，下列結論：①AE=EC；②PC=PN；③EP⊥PN；④ON∥AB，其中正確的是

1. A.
   ①②③④
2. B.
   ①②③
3. C.
   ①②④
4. D.
   ①③④

Answer 1

D
分析：連接DP，并延長交AB于Q，連接OP、OD；由于弧APC是以D為圓心、DC為半徑，所以DC=DP，而OC、OP都是⊙O的半徑，即可證得△DOC≌△DOP，由此可證得DP⊥OP，即DQ切⊙O于點P，然后根據(jù)這個條件來判斷各選項是否正確．
解答：解：連接DP，并延長DP交AB于Q，連接OP、OD；
∵DC=DP、OC=OP、OD=OD，
∴△DOP≌△DOC，
∴∠DPO=∠DCO=90°，即直線DQ與⊙O相切，且切點為P；
①連接BE，則BE⊥AC；
在等腰Rt△ABC中，BE⊥AC，故AE=EC，（等腰三角形三線合一）
所以①正確；
②由于OP=OP、OC=ON，若PC=PN，就必有△POC≌△PON；
那么必須證得∠CPO=∠NPO；
由于OP⊥DQ，因此∠DPC=∠NPQ，即∠DPA=∠NPQ=∠DPC，
在等腰△ADP和等腰△DPC中，若∠DPA=∠DPC，則∠ADP=∠PDC，顯然不成立，
故②錯誤；
④由于OP⊥DQ，則∠OPQ=90°；
∵∠DAP=∠DPA=∠NPQ，
∴∠NAM=∠OPN=90°-∠DAP=90°-∠NPQ，
又∵∠OPN=∠N，
∴∠NAM=∠N，即ON∥AB；
故④正確；
③連接OE，由于O、E分別是AC、BC的中點，
所以OE是△ABC的中位線，得OE∥AB；
由④得ON∥AB，故N、O、E三點共線，
所以NE是⊙O的直徑，連接EP，由圓周角定理可知EP⊥AN；
故③正確；
所以正確的結論是①③④，故選D．
點評：此題考查的知識點有：正方形的性質、圓周角定理、全等三角形的判定和性質、切線的判定和性質、平行線的判定、三角形中位線定理等知識的綜合應用，能夠判斷出DP是⊙O的切線是解決此題的關鍵，難度較大．