Question

如圖，△ABC是等邊三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，M是AB延長線上一點，N是CA延長線上一點，且∠MDN=60°．試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．

Answer 1

解：CN=MN+BM
證明：在CN上截取點E，使CE=BM，連接DE，
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又△BDC為等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴BD=DC，∠DBC=∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠BCD=∠ECD=90°，
在△MBD和△ECD中，，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，∠MDB=∠EDC，
又∵∠MDN=60°，∠BDC=120°，
∴∠EDN=∠BDC-（∠BDN+∠EDC）=∠BDC-（∠BDN+∠MDB）=∠BDC-∠MDN=120°-60°=60°，
∴∠MDN=∠EDN，
在△MND與△END中，
，
∴△MND≌△END（SAS），
∴MN=NE，
∴CN=NE+CE=MN+BM．
分析：先求證△MBD≌△ECD可得MD=DE，∠MDB=∠EDC，進(jìn)而求證△MND≌△END，即可得MN=NE，即可證明CN=NE+CE=MN+BM，即可解題．
點評：本題考查了全等三角形的證明，考查了全等三角形對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等的性質(zhì)，考查了等邊三角形各邊長、各內(nèi)角為60°的性質(zhì)，本題中求證MN=NE是解題的關(guān)鍵．