Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線(xiàn)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

（1）求拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式

（2）如圖1，點(diǎn)為第四象限拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接，記的面積為，的面積為，求的最大值；

（3）如圖2，連接，，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，點(diǎn)，分別為直線(xiàn)和拋物線(xiàn)上的點(diǎn)．試探究：在第一象限是否存在這樣的點(diǎn)，，使．若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，或

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；

（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，則可得△AEK∽△DEF，繼而可得，先求出BC的解析式，繼而求得AK長(zhǎng)，由可得，設(shè)點(diǎn)，進(jìn)而可得，從而可得，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案；

（3）先確定出∠ACB=90°，再得出直線(xiàn)的表達(dá)式為．設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，然后分點(diǎn)在直線(xiàn)右側(cè)，點(diǎn)在直線(xiàn)左側(cè)兩種情況分別進(jìn)行討論即可．

（1）∵拋物線(xiàn)與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．

∴，

∴，

∴拋物線(xiàn)的函數(shù)表達(dá)式為；

（2）過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)．

則DG//AK，

∴△AEK∽△DEF，

∴，

設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+n，

將、代入則有：，

解得，

∴直線(xiàn)的表達(dá)式為，

當(dāng)x=-1時(shí)，，

即K（-1，），

∴．

∵．

∴

設(shè)點(diǎn)，則F點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），

∴．

∴，

當(dāng)時(shí)，有最大值．

（3）∵，，．

∴AC=，BC=，AB=5，

∴AC2+BC2=25=52=AB2，

∴∠ACB=90°，

∵過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，直線(xiàn)的表達(dá)式為，

∴直線(xiàn)的表達(dá)式為．

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

①當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)右側(cè)時(shí)，如圖，∠BPQ=90°，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥PN于點(diǎn)M，

∴∠M=∠PNB=90°，

∴∠BPN+∠PBN=90°，

∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°，

∴∠QPM=∠PBN，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∵NB=t-4，PN=，

∴，

∴QM=，PM=，

∴MN=+，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

將點(diǎn)的坐標(biāo)為代入，得

，

解得：，t2=0（舍去），

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．

②當(dāng)點(diǎn)在直線(xiàn)左側(cè)時(shí)．如圖，∠BPQ=90°，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥x軸于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥PN于點(diǎn)M，

∴∠M=∠PNB=90°，

∴∠BPN+∠PBN=90°，

∵∠QPM+∠BPN=180°-∠QPB=180°-90°=90°，

∴∠QPM=∠PBN，

∴，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∵NB=4-t，PN=，

∴，

∴QM=，PM=，

∴MN=+，，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．

將點(diǎn)的坐標(biāo)為代入，得

，

解得：，<0（舍去），

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為．