Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l₁：y=x與直線l₂：y= -x+6相交于點(diǎn)M，直線l₂與x軸相交于點(diǎn)N．

（1）求M，N的坐標(biāo)．

（2）矩形ABCD中，已知AB=1，BC=2，邊AB在x軸上，矩形ABCD沿x軸自左向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng)，設(shè)矩形ABCD與△OMN的重疊部分的面積為S，移動(dòng)的時(shí)間為t（從點(diǎn)B與點(diǎn)O重合時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，到點(diǎn)A與點(diǎn)N重合時(shí)計(jì)時(shí)開(kāi)始結(jié)束）．直接寫(xiě)出S與自變量t之間的函數(shù)關(guān)系式（不需要給出解答過(guò)程）．

（3）在（2）的條件下，當(dāng)t為何值時(shí)，S的值最大？并求出最大值．

Answer 1

解：（1）解方程組 ，

解得：  ，

則M的坐標(biāo)是：（4 ，2）．

在解析式y(tǒng)=-x+6中，令y=0，解得：x=6，則N的坐標(biāo)是：（6，0）．

（2）當(dāng)0≤t≤1時(shí)，重合部分是一個(gè)三角形，OB=t，則高是t，則面積是 ×t• t= t²；

當(dāng)1＜t≤4時(shí)，重合部分是直角梯形，梯形的高是1，下底是： t，上底是：（t-1），根據(jù)梯形的面積公式可以得到：；

當(dāng)4＜t≤5時(shí)，過(guò)M作x軸的垂線，則重合部分被垂線分成兩個(gè)直角梯形，兩個(gè)梯形的下底都是2，上底分別是：-t+6和（t-1），根據(jù)梯形的面積公式即可求得

 ；

當(dāng)5＜t≤6時(shí)，重合部分是直角梯形，與當(dāng)1＜t≤4時(shí)，重合部分是直角梯形的計(jì)算方法相同，則S=7-2t；

當(dāng)6＜t≤7時(shí)，重合部分是直角三角形，則與當(dāng)0≤t≤1時(shí)，解法相同，可以求得．

則：

（3）在0≤t≤1時(shí)，函數(shù)的最大值是：；

當(dāng)1＜t≤4，函數(shù)值y隨x的增大而增大，則當(dāng)x=4時(shí)，取得最大值是： ；

當(dāng)4＜t≤5時(shí)，是二次函數(shù)，對(duì)稱軸x= ，則最大值是：- ；

當(dāng)5＜t≤6時(shí)，函數(shù)y隨t的增大而減小，因而函數(shù)值一定小于 ；

同理，當(dāng)6＜t≤7時(shí)，y隨t的增大而減小，因而函數(shù)值小于 ．

總之，函數(shù)的最大值是： ．