Question

如果α、β是方程x²+2（k+3）x+k²+3=0的兩實根，則（α-1）²+（β-1）²的最小值是________．

Answer 1

18
分析：由根與系數(shù)的關系得出α+β=-2（k+3），α•β=k²+3，把代數(shù)式化成含α+β，α•β的形式，代入求出求出其值，在根據(jù)根的判別式求出k的范圍，取符合條件的k值代入求出即可．
解答：由根與系數(shù)的關系得：α+β=-2（k+3），α•β=k²+3，
∴原式=α²-2α+1+β²-2β+1，
=（α+β）²-2αβ-2（α+β）+2，
=4（k+3）²-2（k²+3）+4（k+3）+2，
=2（k+7）²-54，
∵b²-4ac=4（k+3）²-4×1×（k²+3）=24k-24≥0，
∴k≥-1，
∴當k=-1時值最小，代入求出最小值是18．
故答案為：18．
點評：本題主要考查對根與系數(shù)的關系，根的判別式等知識點的理解和掌握，能靈活運用性質進行計算是解此題的關鍵．