Question

如圖，正△ABC的面積是8，取正△ABC的內(nèi)心O₁，以O(shè)₁B為邊長(zhǎng)作正△O₁BP₁，再取正△O₁BP₁的內(nèi)心O₂，以O(shè)₂B為邊長(zhǎng)作正△O₂BP₂，…，依次規(guī)律作第2009個(gè)正△O₂₀₀₉BP₂₀₀₉．則△O₂₀₀₉BP₂₀₀₉的面積是    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)正三角形的內(nèi)心和外心重合，則每后一個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)是前一個(gè)正三角形的外接圓的半徑，它們的邊長(zhǎng)比是．再根據(jù)相似三角形的面積比是相似比的平方，得每后一個(gè)正三角形的面積是前一個(gè)正三角形的面積的，所以要求的正三角形的面積是．
解答：解：如圖；
Rt△O₁BD中，∠O₁BD=30°；
∴=cos30°=；
∴==，
∴S_△O1BP1=S_△ABC=；
同理可求得S_△O2BP2=S_△O1BP1=×S_△ABC=（）²×8；
依此類(lèi)推，S_△OnBPn=（）ⁿ×8=；
當(dāng)n=2009時(shí)，△O₂₀₀₉BP₂₀₀₉的面積是．
點(diǎn)評(píng)：解答此類(lèi)題一般要先從簡(jiǎn)單的例子入手得出一般化的結(jié)論，然后根據(jù)得出的規(guī)律去求特定的值．