解:(1)過點C作CG⊥x軸于G,

則CG=y
1,OG=x
1,
在Rt△OCG中,∠GCO=∠BOC=α,
∵tanα=

,
∴

,
即y
1=3x
1,
又∵OC=

,
∴x
12+y
12=10,
即x
12+(3x
1)
2=10,
解得:x
1=1或x
1=-1(不合舍去)
∴x
1=1,y
1=3,
∴點C的坐標(biāo)為C(1,3).
又點C在雙曲線上,可得:m=3,
過D作DH⊥y軸于H,則DH=y
2,OH=x
2在Rt△ODH中,tanα=

,
∴

,
即y
2=3x
2,
又∵x
2y
2=3,
∴y
2=1或y
2=-1(不符合舍去),
∴x
2=3,y
2=1,
∴點D的坐標(biāo)為D(3,1);
(2)雙曲線上存在點P,使得S
△POC=S
△POD,

這個點就是∠COD的平分線與雙曲線的

交點,
故P點坐標(biāo)為(

,

),
∵點D(3,1),
∴OD=

,
∴OD=OC,
∴點P在∠COD的平分線上,
則∠COP=∠POD,又OP=OP
∴△POC≌△POD,
∴S
△POC=S
△POD.
(3)延長OP交CD于M,
∵C(1,3),D(3,1),
∴根據(jù)勾股定理OC=OD=

,
∵點P在∠COD的平分線上,
∴M為CD中點,
∴M(2.,2),
∵P點坐標(biāo)為(

,

),
∴OP=

,PM=

=-

+2

即OP≠2PM,
∴P不是△OCD的重心.
(4)∵點C的坐標(biāo)為C(1,3),點D的坐標(biāo)為D(3,1),
設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b.
則有

,解得

.
∴直線CD的解析式為y=-x+4,
∵Q(-2,0),假設(shè)存在M(a,-a+4),則點M關(guān)于x軸的對稱點M′為(a,4-a),
∴△MOQ的周長L=2+

=2+

,
所以當(dāng)a=1時,周長L取最小值為2+3

,
此時點M(1,3),故L取最小值為2+3

.
分析:(1)過點C作CG⊥x軸于G,在直角△OCG中,已知tanα=

,OC=

,就可以求出CG,OQ的長,就得到C點的坐標(biāo).根據(jù)待定系數(shù)法得到反比例函數(shù)的解析式.過D作DH⊥y軸于H,則DH=y
2,OH=x
2,在Rt△ODH中,tanα=

,∴

,即y
2=3x
2,由x
2y
2=3解得DH的長,進(jìn)而求出OH,得到D點的坐標(biāo).
(2)雙曲線上存在點P,使得S
△POC=S
△POD,這個點就是∠COD的平分線與雙曲線的

交點,易證△POC≌△POD,則S
△POC=S
△POD.
(3)根據(jù)點P到三個頂點的距離即可判斷是否為三角形△OCD的重心;
(4)先求出直線CD的解析式,表示出△MOQ的周長L,根據(jù)配方法即可求解.
點評:本題考查了解直角三角形及三角形的重心等知識,難度較大,關(guān)鍵是掌握用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式及角平分線的性質(zhì).