Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，點A、B分別在x、y軸上，點B的坐標為（0，1），∠BAO=30°．

（1）求AB的長度；

（2）以AB為一邊作等邊△ABE，作OA的垂直平分線MN交AB的垂線AD于點D．求證：BD=OE；

（3）在（2）的條件下，連接DE交AB于F．求證：F為DE的中點．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）直接運用直角三角形30°角的性質(zhì)即可．
（2）連接OD，易證△ADO為等邊三角形，再證△ABD≌△AEO即可．
（3）作EH⊥AB于H，先證△ABO≌△AEH，得AO=EH，再證△AFD≌△EFH即可．

（1）解：∵在Rt△ABO中，∠BAO=30°，

∴AB=2BO=2；

（2）證明：連接OD，

∵△ABE為等邊三角形，

∴AB=AE，∠EAB=60°，

∵∠BAO=30°，作OA的垂直平分線MN交AB的垂線AD于點D，

∴∠DAO=60°．

∴∠EAO=∠NAB

又∵DO=DA，

∴△ADO為等邊三角形．

∴DA=AO．

在△ABD與△AEO中，

∵，

∴△ABD≌△AEO（SAS）．

∴BD=OE．

（3）證明：作EH⊥AB于H．

∵AE=BE，∴AH=AB，

∵BO=AB，∴AH=BO，

在Rt△AEH與Rt△BAO中，

，

∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），

∴EH=AO=AD．

又∵∠EHF=∠DAF=90°，

在△HFE與△AFD中，

，

∴△HFE≌△AFD（AAS），

∴EF=DF．

∴F為DE的中點．