Question

如圖，矩形ABCD中， AB=4，BC=2，點P是射線DA上的一動點，DE⊥CP，垂足為E，EF⊥BE與射線DC交于點F．

（1）若點P在邊DA上（與點D、點A不重合）．

①求證：△DEF∽△CEB；

②設AP=x，DF=y，求與的函數(shù)關系式，并寫出的取值范圍；

（2）當△EFC與△BEC面積之比為3︰16時，線段AP的長為多少?（直接寫出答案，不必說明理由）．

 

Answer 1

【答案】

（1）①通過證明∠DPE=∠CDE，∠DEF=∠CEB得△DEF∽△CEB．②的取值范圍為0＜＜2 （2）或或

【解析】

試題分析：（1）①證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∠ADC=90°，

∴∠ECB=∠DPE，∠PDE+∠CDE=90°． 

∵DE⊥CP，∴∠DEP=∠DEC =90°，∴∠PDE+∠DPE=90°，

∴∠DPE=∠CDE． 

∵∠ECB=∠DPE，∴∠ECB=∠EDF   

∵∠DEC =90°，∴∠DEF+∠FEC=90°．

∵EF⊥BE，∴∠CEB+∠FEC=90°，

∴∠DEF=∠CEB，  

∴△DEF∽△CEB．  

②解：∵△DEF∽△CEB，∴．   

∵DF=y，BC=2，AP=x， AB=4，

∴，DP=，CD=4． 

由∠PDC=90°，DE⊥CP，易證△DPC∽△EDC，

∴，∴，∴

的取值范圍為0＜＜2． 

（2）當△EFC與△BEC面積之比為3︰16時，根據(jù)題意解得

AP長為或或．

考點：矩形，相似三角形

點評：本題考查矩形，相似三角形，解答本題需要考生掌握矩形的性質，熟悉相似三角形的判定方法，會證明兩個三角形相似