Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c的頂點為P（1，-2），且經(jīng)過點A（-3，6），并與x軸交于點B和C．

（1）求這個二次函數(shù)的解析式，并求出點C坐標(biāo)及∠ACB的大小；
（2）設(shè)D為線段OC上一點，滿足∠DPC=∠BAC，求D的坐標(biāo)；
（3）在x軸上，是否存在點M，使得以M為圓心的圓能與直線AC、直線PC及y軸都相切？如果存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵頂點為P（1，-2），
∴設(shè)二次函數(shù)頂點式解析式為y=a（x-1）²-2，
把點A（-3，6）代入得，a（-3-1）²-2=6，
解得a=，
所以，二次函數(shù)解析式為y=（x-1）²-2=x²-x-，
即y=x²-x-；
令y=0，則x²-x-=0，
整理得，x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴點C坐標(biāo)為（3，0）；
∵A（-3，6），C（3，0），
∴tan∠ACB==1，
∴∠ACB=45°；

（2）∵點P（1，-2），C（3，0），
∴tan∠PCD==1，
∴∠PCD=45°，
∴∠PCD=∠ACB，
又∵∠DPC=∠BAC，
∴△DPC∽△BAC，
∴=，
∵AC==6，PC==2，BC=3-（-1）=4，
∴=，
解得DC=，
∴OD=OC-DC=3-=，
∴點D的坐標(biāo)為（，0）；

（3）如圖，①點M在線段OC上時，設(shè)AC切⊙O于H₁，連接MH₁，
∵⊙M與直線AC相切，
∴MH₁⊥AC，
∵∠ACB=45°，
∴OC=OM+CM=OM+OM=3，
解得OM==3-3；
此時，點M（3-3，0）；
②點M在射線OB上時，設(shè)AC切⊙O于H₂，連接MH₂，
∵⊙M與直線AC相切，
∴MH₂⊥AC，
∵∠ACB=45°，
∴OC=CM-OM=OM-OM=3，
解得OM==3+3．
此時，點M（-3-3，0）．
分析：（1）設(shè)二次函數(shù)頂點式解析式為y=a（x-1）²-2，然后把點A的坐標(biāo)代入求出a的值，即可得解，令y=0，解方程求出點B、C的坐標(biāo)，然后求出∠ACB=45°；
（2）先求出∠PCD=45°，再利用勾股定理列式求出AC、PC，然后根據(jù)兩組角對應(yīng)相等兩三角形相似判斷出△DPC和△BAC相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例列式求出DC，再求出OD，即可得到點D的坐標(biāo)；
（3）分①點M在線段OC上時，設(shè)AC切⊙O于H₁，連接MH₁，根據(jù)切線的定義可得MH₁⊥AC，從而然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)用OM表示出OC，求解即可；
②點M在射線OB上時，設(shè)AC切⊙O于H₂，連接MH₂，根據(jù)切線的定義可得MH₂⊥AC，從而然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)用OM表示出OC，求解即可．
點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形，等腰直角三角形的性質(zhì)，圓的切線的定義，（1）利用二次函數(shù)的頂點式形式求解更加簡便，（3）難點在于分情況討論．