Question

【題目】如圖所示，AB是⊙O的直徑，AB=4，D是⊙O上的一點，∠ABD=30°，OF∥AD交BD于點E，交⊙O于點F．

（1）求DE的長度；

（2）求陰影部分的面積（結果保留π）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）π﹣；

【解析】

（1）利用圓周角定理、余弦三角函數(shù)的定義求得BD=2；然后由三角形中位線的定義證得點E是線段BD的中點，即DE=BD求得；
（2）陰影部分的面積=扇形OFB的面積-△OBE的面積．

（1）∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角）；

又∠ABD=30°，AB=4，

∴BD=ABcos∠ABD=4×=2；

∵OF∥AD，點O是AB的中點，

∴OE是△ABD的中位線，

∴點E是線段BD的中點，

∴DE=BD=；

（2）由（1）知，∠ADB=90°．

∵∠ABD=30°，

∴∠DAB=60°（三角形內角和定理）；

又∵OF∥AD，

∴∠EOB=∠DAB=60°（兩直線平行，同位角相等）；

∵OB=AB=2，

∴S扇形OBF=；

由（1）知，DE=BD，

∴BE=BD=，

∴S△OBE=OBBEsin∠EBO=×2××=，

∴S陰影=S扇形OBF﹣S△OBE=π﹣．