如圖,P是△ABC內(nèi)的一點,等長的三條線DE、FG、HT分別平行于三邊AB、BC、CA,并且都過點P,且AB=12,BC=8,CA=6.求證:AT∶TF∶FB=1∶5∶3.
證明:∵DE∥AB,F(xiàn)G∥BC,HT∥CA, ∴△DPG∽△ABC, △TFP∽△ABC, △PEH∽△ABC, 設(shè)上述三個相似比依次為x、y、z,則 DP=12x,PG=8x,DG=6x, TF=12y,F(xiàn)P=8y,TP=6y, PE=12z,EH=8z,HP=6z. ∵DP+TF+PE=AT+TF+FB=AB=12, ∴12x+12y+12z=12, 即x+y+z=1.① 又∵DE=FG=HF, 即DP+PE=FP+PG=TP+PH, ∴12x+12z=8x+8y=6y+6z.② 由①②得x= 則AT∶TF∶FB �。紻P∶TF∶PE =x∶y∶z �。�1∶5∶3. |
點悟:題目中有多組平行線,故可直接利用平行線截得線段成比例定理和三角形相似來解決問題. 點撥:本題中巧設(shè)三個相似比為x,y,z,起到了簡化運算的作用. |
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A、1:3 | B、3:2 |
C、3:1 | D、2:3 |
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