Question

【題目】如圖，直線y＝﹣x+m與拋物線y＝ax2+bx都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0），點(diǎn)B，過(guò)B作BH垂直x軸于H，OA＝3OH．直線OC與拋物線AB段交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當(dāng)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是時(shí)，求直線OC與直線AB的交點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下將△OBH沿BA方向平移到△MPN，頂點(diǎn)P始終在線段AB上，求△MPN與△OAC公共部分面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）y＝-x2+3x；（2）(4，2)；（3）

【解析】

（1）先求出直線AB的解析式，求出點(diǎn)B坐標(biāo)，再將A，B的坐標(biāo)代入y＝ax2+bx即可；

（2）求出直線AC的解析式，再聯(lián)立直線OC與直線AB的解析式即可；

（3）設(shè)PM與OC、PA分別交于G、H，PN與OC、OA分別交于K、F，分別求出直線OB，PM，OC的解析式，再分別用含a的代數(shù)式表示出H，G，E，F的坐標(biāo)，最后分情況討論，可求出△MPN與△OAC公共部分面積的最大值．

解：（1）∵直線y＝﹣x+m點(diǎn)A（6，0），

∴﹣6+m＝0，

∴m＝6，

∴yAB＝﹣x+6，

∵OA＝3OH，

∴OH＝2，

在yAB＝﹣x+6中，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4，

∴B（2，4），

將A（6，0），B（2，4）代入y＝ax2+bx，

得，，

解得，a＝﹣，b＝3，

∴拋物線的解析式為y＝-x2+3x；

（2）∵直線OC與拋物線AB段交于點(diǎn)C，且點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是，

∴＝﹣x2+3x，

解得，x1＝1（舍去），x2＝5，

∴C（5，），

設(shè)yOC＝kx，

將C（5，）代入，

得，k＝，

∴yOC＝x，

聯(lián)立，

解得，x＝4，y＝2，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，2）；

（3）設(shè)直線OB的解析式為yOB＝mx，點(diǎn)P坐標(biāo)為（a，﹣a+6），

將點(diǎn)B（2，4）代入，

得，m＝2，

∴yOB＝2x，

由平移知，PM∥OB，

∴設(shè)直線PM的解析式為yPM＝2x+n，

將P（a，﹣a+6）代入，

得，﹣a+6＝2a+n，

∴n＝6﹣3a，

∴yPM＝2x+6﹣3a，

設(shè)PM與OC、PA分別交于G、H，PN與OC、OA分別交于K、F，

聯(lián)立，

解得，x＝2a﹣4，y＝a﹣2，

∴G（2a﹣4，a﹣2），yG＝a﹣2，

在yPM＝2x+6﹣3a中，

當(dāng)y＝0時(shí)，x＝，

∴E（，0），OE＝，

∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，

∴K（a，a），F（a，0），

∴OF＝a，KF＝a，

設(shè)△MPN與△OAC公共部分面積為S，

①當(dāng)0≤a＜4時(shí)，

S＝S△OFK﹣S△OEG，

＝×a×a﹣（）（a﹣2），

＝﹣a2+3a﹣3

＝﹣（a﹣3）2+，

∵﹣＜0，根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)可知，

∴當(dāng)a＝3時(shí)S有最大值；

②當(dāng)4≤a≤6時(shí)，

S＝S△PEF

＝EFPF

＝（a﹣a+3）（﹣a+6）

＝

＝，

∵，根據(jù)二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)知，當(dāng)a＝4時(shí)，S有最大值1；

∵

∴△MPN與△OAC公共部分面積的最大值為．