(2009•河北)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,AB=5.點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),到達(dá)點(diǎn)A后立刻以原來的速度沿AC返回;點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)沿AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng).伴隨著P、Q的運(yùn)動(dòng),DE保持垂直平分PQ,且交PQ于點(diǎn)D,交折線QB-BC-CP于點(diǎn)E.點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā),當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng),點(diǎn)P也隨之停止.設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(t>0).
(1)當(dāng)t=2時(shí),AP=______,點(diǎn)Q到AC的距離是______;
(2)在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過程中,求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式;(不必寫出t的取值范圍)
(3)在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過程中,四邊形QBED能否成為直角梯形?若能,求t的值;若不能,請(qǐng)說明理由;
(4)當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),請(qǐng)直接寫出t的值.

【答案】分析:(1)先求PC,再求AP,然后求AQ,再由三角形相似求Q到AC的距離;
(2)作QF⊥AC于點(diǎn)F,先求BC,再用t表示QF,然后得出S的函數(shù)解析式;
(3)當(dāng)DE∥QB時(shí),得四邊形QBED是直角梯形,由△APQ∽△ABC,由線段的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系求得t,由PQ∥BC,四邊形QBED是直角梯形,△AQP∽△ABC,由線段的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系求t;
(4)①第一種情況點(diǎn)P由C向A運(yùn)動(dòng),DE經(jīng)過點(diǎn)C、連接QC,作QG⊥BC于點(diǎn)G,由PC2=QC2解得t;
②第二種情況,點(diǎn)P由A向C運(yùn)動(dòng),DE經(jīng)過點(diǎn)C,由圖列出相互關(guān)系,求解t.
解答:解:(1)做QF⊥AC,
∵AC=3,點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CA以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),
∴當(dāng)t=2時(shí),AP=3-2=1;
∵QF⊥AC,BC⊥AC,
∴QF∥BC,
∴△ACB∽△AFQ,
,
,
解得:QF=;
故答案為:1,;

(2)作QF⊥AC于點(diǎn)F,
如圖1,AQ=CP=t,
∴AP=3-t.
由△AQF∽△ABC,BC==4,


∴S=(3-t)•,
即S=

(3)能.
①當(dāng)由△APQ∽△ABC,DE∥QB時(shí),如圖2.
∵DE⊥PQ,
∴PQ⊥QB,四邊形QBED是直角梯形,
此時(shí)∠AQP=90°.
由△APQ∽△ABC,得,
.解得;
②如圖3,當(dāng)PQ∥BC時(shí),DE⊥BC,四邊形QBED是直角梯形.
此時(shí)∠APQ=90°.
由△AQP∽△ABC,得,

解得
綜上:在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過程中,當(dāng)t=時(shí),四邊形QBED能成為直角梯形;

(4)t=或t=
注:①點(diǎn)P由C向A運(yùn)動(dòng),DE經(jīng)過點(diǎn)C.
連接QC,作QG⊥BC于點(diǎn)G,如圖4.
∵sinB===,
∴QG=(5-t),
同理BG=(5-t),
∴CG=4-(5-t),
∴PC=t,QC2=QG2+CG2=[(5-t)]2+[4-(5-t)]2
∵CD是PQ的中垂線,
∴PC=QC
則PC2=QC2
得t2=[(5-t)]2+[4-(5-t)]2,
解得t=;
②點(diǎn)P由A向C運(yùn)動(dòng),DE經(jīng)過點(diǎn)C,如圖5.
PC=6-t,可知由PC2=QC2可知,
QC2=QG2+CG2=(6-t)2=[(5-t)]2+[4-(5-t)]2,
即t=
點(diǎn)評(píng):本題考查了相似三角形的判定定理,線段比的有關(guān)知識(shí),利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)以及實(shí)際應(yīng)用相結(jié)合,同時(shí)考生要注意巧妙利用輔助線的幫助解答,難度較大.
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(1)當(dāng)t=2時(shí),AP=______,點(diǎn)Q到AC的距離是______;
(2)在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過程中,求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式;(不必寫出t的取值范圍)
(3)在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過程中,四邊形QBED能否成為直角梯形?若能,求t的值;若不能,請(qǐng)說明理由;
(4)當(dāng)DE經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),請(qǐng)直接寫出t的值.

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(1)當(dāng)t=2時(shí),AP=______,點(diǎn)Q到AC的距離是______;
(2)在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過程中,求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式;(不必寫出t的取值范圍)
(3)在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過程中,四邊形QBED能否成為直角梯形?若能,求t的值;若不能,請(qǐng)說明理由;
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(1)當(dāng)t=2時(shí),AP=______,點(diǎn)Q到AC的距離是______;
(2)在點(diǎn)P從C向A運(yùn)動(dòng)的過程中,求△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式;(不必寫出t的取值范圍)
(3)在點(diǎn)E從B向C運(yùn)動(dòng)的過程中,四邊形QBED能否成為直角梯形?若能,求t的值;若不能,請(qǐng)說明理由;
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