Question

【題目】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，BC=6，AB=10．點(diǎn)Q與點(diǎn)B在AC的同側(cè)，且AQ⊥AC．

（1）如圖1，點(diǎn)Q不與點(diǎn)A重合，連結(jié)CQ交AB于點(diǎn)P．設(shè)AQ=x，AP=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍；

（2）是否存在點(diǎn)Q，使△PAQ與△ABC相似，若存在，求AQ的長；若不存在，請說明理由；

（3）如圖2，過點(diǎn)B作BD⊥AQ，垂足為D．將以點(diǎn)Q為圓心，QD為半徑的圓記為⊙Q．若點(diǎn)C到⊙Q上點(diǎn)的距離的最小值為8，求⊙Q的半徑．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 存在點(diǎn)Q，使△ABC∽△QAP，此時AQ=；(3)⊙Q的半徑為9或．

【解析】試題分析：（1）先由平行線分線段成比例得出， 代值即可得出結(jié)論；

（2）先判斷出要使△PAQ與△ABC相似，只有∠QPA=90°，進(jìn)而由相似得出比例式即可得出結(jié)論；

（3）分點(diǎn)C在⊙O內(nèi)部和外部兩種情況，用勾股定理建立方程求解即可．

試題解析：（1）∵AQ⊥AC，∠ACB=90°，∴AQ∥BC，∴，∵BC=6，AC=8，∴AB=10，

∵AQ=x，AP=y，∴，∴；

（2）∵∠ACB=90°，而∠PAQ與∠PQA都是銳角，∴要使△PAQ與△ABC相似，只有∠QPA=90°，

即CQ⊥AB，此時△ABC∽△QAC，則，∴AQ=．故存在點(diǎn)Q，使△ABC∽△QAP，此時AQ=；

（3）∵點(diǎn)C必在⊙Q外部，∴此時點(diǎn)C到⊙Q上點(diǎn)的距離的最小值為CQ﹣DQ．

設(shè)AQ=x．①當(dāng)點(diǎn)Q在線段AD上時，QD=6﹣x，QC=6﹣x+8=14﹣x，

∴x2+82=（14﹣x）2，解得：x=，即⊙Q的半徑為．

②當(dāng)點(diǎn)Q在線段AD延長線上時，QD=x﹣6，QC=x﹣6+8=x+2，

∴x2+82=（x+2）2，解得：x=15，即⊙Q的半徑為9．

∴⊙Q的半徑為9或．