Question

【題目】（本題滿分12分）如圖，以直角三角形AOC的直角頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，以OC、OA所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A（0， a），C（b，0）滿足。

（1）則C點(diǎn)的坐標(biāo)為__________;A點(diǎn)的坐標(biāo)為__________．

（2）已知坐標(biāo)軸上有兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，P點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)沿x軸負(fù)方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度勻速移動(dòng)，Q點(diǎn)從O點(diǎn)出發(fā)以2個(gè)單位長(zhǎng)度每秒的速度沿y軸正方向移動(dòng)，點(diǎn)Q到達(dá)A點(diǎn)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束．AC的中點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1,2），設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．問：是否存在這樣的t，使,若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

（3）點(diǎn)F是線段AC上一點(diǎn)，滿足∠FOC=∠FCO, 點(diǎn)G是第二象限中一點(diǎn)，連OG,使得∠AOG=∠AOF．點(diǎn)E是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)，連CE交OF于點(diǎn)H， 當(dāng)點(diǎn)E在線段OA上運(yùn)動(dòng)的過程中，的值是否會(huì)發(fā)生變化,若不變，請(qǐng)求出它的值；若變化，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（0,4） C（2,0）；（2）存在，t=1；（3）不變，值為2．

【解析】

試題分析：（1）由二次根式和絕對(duì)值的非負(fù)性求出a,b值，進(jìn)而知道A,C的坐標(biāo)；（2）由條件知:點(diǎn)Q到達(dá)A點(diǎn)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束,Q點(diǎn)從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)間為2秒, ∴ 0＜t≤2，點(diǎn)Q在線段AO上,P在線段OC上，∵CP=t ，OC=2， ∴OP=2-t,OQ=2t,∵D的坐標(biāo)是（1,2），假設(shè)存在，列出△ODP和△ODQ面積相等的式子，看符合條件的t值是否存在；（3）根據(jù)已知條件先證明OG∥AC,然后過H點(diǎn)做AC的平行線交OA于M,交OC于N，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等，和三角形外角性質(zhì)，設(shè)法將∠OHC轉(zhuǎn)化成∠1＋∠2＋∠4，將∠OEC轉(zhuǎn)化成∠1＋∠4，這樣就求出了所求問題的比值．

試題解析：（1）由二次根式和絕對(duì)值的非負(fù)性得，b-2=0,∴b=2,a-2b=0,即a-4=0,∴a=4，∴A（0,4） C（2,0）；（2）由條件知：P點(diǎn)從C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)間為2秒，Q點(diǎn)從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)間為2秒,點(diǎn)Q到達(dá)A點(diǎn)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，∴0<t≤2，此時(shí)點(diǎn)Q在線段AO上,P在線段OC上，即CP=t ,OP=2-t,OQ=2t,∵D的坐標(biāo)是（1,2），∴ ，，，∴2-t=t，∴t=1,符合條件，∴存在這樣的t，使,此時(shí)t=1．

先根據(jù)已知條件證明OG∥AC ，如圖：∵∠2＋∠3=90 ，∠1=∠2，∠3=∠FCO∴∠1＋∠2＋∠3＋∠FCO=2（∠2＋∠3）=180,∴OG∥AC ,過H點(diǎn)作AC的平行線交OA于M,交OC于N，則OG∥MN∥AC,∴∠GOF=∠1＋∠2=∠OHN,∠NHC=∠4，利用三角形外角性質(zhì)可得：∠OEC=∠OAC＋∠4=∠1＋∠4，∴∠OHC=∠OHN＋∠NHC=∠1＋∠2＋∠4,∴,∴的值不變．其值為2．