Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的兩邊分別在x軸和y軸的正半軸上，OA=3，OC=2．動(dòng)點(diǎn)D在線段BC上移動(dòng)（不與B、C重合），連接OD，作DE⊥OD交邊AB于點(diǎn)E，連接OE．設(shè)CD的長(zhǎng)為t．
（1）當(dāng)t=1時(shí)，求直線DE的解析式．
（2）設(shè)梯形COEB的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量t的取值范圍．
（3）是否存在t的值，使得OE的長(zhǎng)取得最小值？若存在，求出此時(shí)t的值并求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）四邊形OABC是矩形，且DE⊥OD，易證得△OCD∽△DBE，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得當(dāng)t=1時(shí)，，即可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，1）．又由點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），由待定系數(shù)法即可求得直線DE的解析式；
（2）由（1）得，即可求得BE的值，又由S=（BE+CO）•BC即可求得答案；
（3）因?yàn)镽t△OAE的直角邊OA的長(zhǎng)為定值，所以當(dāng)Rt△OAE的面積最小時(shí)，AE的長(zhǎng)最小，即OE的長(zhǎng)最小．而當(dāng)Rt△OAE的面積最小時(shí)，就是梯形COEB的面積最大時(shí)．根據(jù)二次函數(shù)最值的求解方法即可求得答案．
解答：解：（1）如圖，∵四邊形OABC是矩形，且DE⊥OD，
∴∠1+∠2=90°，∠3+∠2=90°．
∴∠1=∠3．
又∵∠OCD=∠B=90°，
∴△OCD∽△DBE．
∴．
∴當(dāng)t=1時(shí)，，
∴BE=1．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，1）．
設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，
又∵點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），
∴直線DE的解析式為．

（2）由（1）得，即．
∴BE=．
∴S=（BE+CO）•BC=-t²+t+3．自變量t的取值范圍是：0＜t＜3．

（3）存在t的值，使得OE的長(zhǎng)取得最小值．
因?yàn)镽t△OAE的直角邊OA的長(zhǎng)為定值，所以當(dāng)Rt△OAE的面積最小時(shí)，AE的長(zhǎng)最小，即OE的長(zhǎng)最�。�而當(dāng)Rt△OAE的面積最小時(shí)，就是梯形COEB的面積最大時(shí)．
由（2）S=-t²+t+3=-（t-）²+可知，
當(dāng)時(shí)滿足此要求．此時(shí)，AE=2-BE=．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及二次函數(shù)的最值問題等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，解題的關(guān)鍵是注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．