Question

拋物線y=-（x-1）²+4與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸相交于點C，頂點為點D．
（1）直接寫出A、B、C、D四點的坐標，并求四邊形ABCD的面積；
（2）在拋物線上是否存在點P，使S_△ABP=S_ABDC？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

解；（1）過點D作DE⊥x軸于點E，
∵拋物線y=-（x-1）²+4與x軸相交于A、B兩點（點A在點B的左側），
∴當y=0時，0=-（x-1）²+4，
解得：x₁=-1，x₂=3，
∵拋物線與y軸相交于點C，頂點為點D，
∴C（0，3），D（1，4），
∴四邊形ABCD的面積=S_△AEC+S_△COED+S_△BED
=×1×3+×（3+4）×1+×2×4，
=++4，
=9；

（2）在拋物線上存在點P，使S_△ABP=S_ABDC，
理由：∵S_△ABP=S_ABDC，
∴S_△ABP=×9=10，
∵AB=4，
∴P點縱坐標可能為：±5，
∵頂點坐標D（1，4），
∴P點縱坐標為：-5，
當y=-5，
∴-5=-（x-1）²+4
解得：x₁=4，x₂=-2，
∴P點坐標為：（4，-5）或（-2，-5）．
分析：（1）根據點的坐標性質直接在坐標系中找出即可，進而分割四邊形求出即可；
（2）利用（1）中所求得出S_△ABP=10，進而求出P點縱坐標，再代入拋物線解析式求出橫坐標即可．
點評：此題主要考查了二次函數(shù)綜合中點的坐標性質以及圖象與坐標軸的交點坐標求法和四邊形面積求法等知識，根據已知得出P點位置是解題關鍵．