Question

【題目】如圖1，在平行四邊形ABCD中，過點C作CE⊥AD于點E，過AE上一點F作FH⊥CD于點H，交CE于點K，且KE=DE．

（1）若AB=13，且cosD=，求線段EF的長；

（2）如圖2，連接AC，過F作FG⊥AC于點G，連接EG，求證：CG+GF=EG．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）詳見解析.

【解析】

（1）首先解直角三角形求出EC，再證明△FEK≌△CED（AAS），推出EF=CE=12即可解決問題；

（2）如圖，作EM⊥AC于M，EN⊥GF交GF的延長線于N，連接CF．證明△EGN≌△EGM（AAS），推出EN=EM，∵GN=GM，EF=EC，推出Rt△ENF≌Rt△EMC（HL），推出FN=CM，推出CG+GF=GM+CM+GN-FN=2GM=EG；

（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD=13，

∵CE⊥AD，FH⊥CD，

∴∠FHC=∠CED=90°，

在Rt△CDE中，∵cosD==，

∴DE=5，

∴CE==12，

∵∠FEK=∠CED=90°，∠FKE=∠CKE，

∴∠EFK=∠ECD，

∵EK=DE，

∴△FEK≌△CED（AAS），

∴EF=CE=12．

（2）證明：如圖，作EM⊥AC于M，EN⊥GF交GF的延長線于N，連接CF．

∵FG⊥AC，CE⊥AD，

∴∠FGC=∠FEC=90°，

∵EF=EC，

∴∠EFC=∠ECF=45°，

∴∠FGC+∠FEC=90°，

∴E，F，G，C四點共圓，

∴∠FGE=∠ECF=45°，∠EGC=∠EFC=45°，

∴∠EGN=∠EGM，∵∠EMG=∠ENG=90°，EG=EG，

∴△EGN≌△EGM（AAS），

∴EN=EM，∵GM=GN，EF=EC，

∴Rt△ENF≌Rt△EMC（HL），

∴FN=CM，

∴CG+GF=GM+CM+GN-FN=2GM=EG．