Question

如圖所示，在直角坐標(biāo)系中，矩形OBCD的邊長(zhǎng)OB=4，OD=2．
（1）P是OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) Q在 PB或其延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，OP=PQ，作以 PQ為一邊的正方形PQRS，點(diǎn)P從O點(diǎn)開(kāi)始沿射線OB方向運(yùn)動(dòng)，直到點(diǎn)P與點(diǎn)B重合，設(shè)OP=x，正方形PQRS與矩形OBCD重疊部分的面積為y，寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在（1）中，當(dāng)x分別取1和3時(shí)，y的值分別是多少？
（3）已知直線l：y=ax-a都經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)A，求經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A且把矩形OBCD面積平均分成兩部分的直線的關(guān)系式和A點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)矩形OBCD的邊長(zhǎng)OB=4，OD=2．利用正方形的面積公式即可列出y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）將x=1和x=3分別代入y=x²；y=-2x+8，即可求解；
（3）根據(jù)對(duì)稱中心M的直線可把矩形OBCD的面積平均分成相等的兩部分，求出M，
設(shè)所求直線關(guān)系式為y=kx+b（k≠0），求得k=1，b=-1，然后即可求出定點(diǎn)A且把矩形OBCD面積平均分成兩部分的直線的關(guān)系式和A點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y=x²；
當(dāng)2＜x≤4時(shí)，y=-2x+8；

（2）當(dāng)x=1時(shí)，y=1；當(dāng)x=3時(shí)，y=-2×3+8=2．
∴當(dāng)x分別取1和3時(shí)，y的值分別是1和2；

（3）A（1，0）．因?yàn)榫匦蜲BCD是中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心為對(duì)角線的交點(diǎn)，設(shè)為M，
所以經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心M的直線可把矩形OBCD的面積平均分成相等的兩部分，求出M（2，1），
設(shè)所求直線關(guān)系式為y=kx+b（k≠0），把A（1，0），M（2，1）代入得k=1，b=-1，
所以y=x-1，即A（1，0）．
因?yàn)榫匦蜲BCD是中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心為對(duì)角線的交點(diǎn)，設(shè)為M，
所以經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心M的直線可把矩形OBCD的面積平均分成相等的兩部分，
求出M（2，1），因?yàn)橹本�y=ax-a過(guò)M（2，1），
所以1=2a-a．所以a=1，所以y=x-1．
點(diǎn)評(píng)：此題為一次函數(shù)綜合題，涉及到了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，有一定的拔高難度，是一道很典型的題目．