Question

【題目】如圖，直線交x軸于點(diǎn)A（8，0），直線經(jīng)過點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，過點(diǎn)B作y軸的垂線，兩條垂線交于點(diǎn)D，連接PB，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.

(1)若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，則PD的長(zhǎng)度為 （用含m的式子表示）；

(2)如圖1，已知點(diǎn)Q是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在以A，B，E，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，若存在，求出E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；

(3)如圖2，將△BPD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，得到△BD′P′，且旋轉(zhuǎn)角∠PBP′=∠OCA，當(dāng)點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′落在坐標(biāo)軸上時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，點(diǎn)E坐標(biāo)為（，0）或（，0）；（3）P′坐標(biāo)為（-，0）或（8，0）.

【解析】

（1）直線解析式可得B點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)P橫坐標(biāo)可求出點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可求出PD的長(zhǎng)度；（2）分AB為邊且點(diǎn)E在點(diǎn)A右側(cè)、左側(cè)和AB為對(duì)角線三種情況討論，分別求出E點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）①當(dāng)m<0時(shí)，過D′作EF⊥BD，交x軸于E，BD與F，可得P(m，m-4)，D(m，-4)，可用m表示PD、BD的長(zhǎng)，利用勾股定理可得出BP的長(zhǎng)，根據(jù)A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可求出AC、OC、OB的長(zhǎng)，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠PBP′=∠OCA=∠DBD′，即可證明△OCA∽△FBD′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得FB=OE的長(zhǎng)，利用同角的余角相等的性質(zhì)可得∠ED′P′=∠FBD′=∠OCA，即可證明△D′EP′∽△COA，可得EP′的長(zhǎng)，即可求出OP′的長(zhǎng)，利用勾股定理列方程即可求出m的值，可求出OP′的長(zhǎng)，即可得P′坐標(biāo)；②當(dāng)m>0時(shí)，同①可得△OCA∽△FBD′，△D′EP′∽△COA，即可求出OP′的長(zhǎng)，可得P′坐標(biāo).綜上即可得答案.

（1）∵直線經(jīng)過點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，

∴B坐標(biāo)為(0，-4)，

∵點(diǎn)P是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，

∴點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為m-4，

∵PD⊥BD，

∴PD==，

故答案為：

（2）∵直線AB的解析式為：，

∴B（0，-4），

∵直線交x軸于點(diǎn)A（8，0），

∴×(-8)+n=0，

解得：n=6，

∴直線AC的解析式為y=x+6，

∴C（0，6），

①如圖，當(dāng)AB為邊，且點(diǎn)E在A點(diǎn)右側(cè)時(shí)，

∵四邊形ABEP是平四邊形，

∴BE//AP，

∵直線AP的解析式為y=x+6，B(0，-4)

∴直線BE的解析式為：y=x-4，

令y=0，得：x-4=0，

解得：x=，

∴E（，0），

②當(dāng)AB為邊，點(diǎn)E在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，

∵四邊形EAPB是平行四邊形，

∴PE//AB，PB//AE，

∵B（0，-4），

∴把y=-4代入y=x+6得：x=，

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，-4），

設(shè)直線PE的解析式為y=x+b，

把P點(diǎn)坐標(biāo)代入得：×()+b=-4，

解得：b=，

∴直線PE的解析式為y=x，

令y=0得：x=0，

解得：x=，

∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（，0）.

③當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí)，

∵四邊形APBE是平行四邊形，

∴BE//AP，

同①可得E點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），

綜上所述：存在以A，B，E，Q為頂點(diǎn)的平行四邊形，點(diǎn)E坐標(biāo)為（，0）或（，0）.

（3）①如圖，當(dāng)m<0時(shí)，過D′作EF⊥BD，交x軸于E，BD與F，

∵A（-8，0），C（0，6），B（0，-4），

∴AC=10，OC=6，OB=4，

∵點(diǎn)P在直線y=x-4圖象上，BD//y軸，BD⊥PD，

∴P(m，m-4)，D(m，-4)，

∴DP=m-4-（-4）=m，BD=-m，

∴PB2=PD2+BD2=m2，

∵旋轉(zhuǎn)角∠PBP′=∠OCA=∠DBD′，∠D′FB=∠OCA，

∴△OCA∽△FBD′，

∴，

∵△BPD繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，得到△BD′P′，

∴P′B=PB，BD′=BD=-m，D′P′=DP=m，∠P′D′B=∠PDB=90°，

∴，

解得：FB=m，

∴OE=FB=m，

∵∠FD′B+∠FBD′=90°，∠ED′P′+∠FD′B=90°，

∴∠ED′P′=∠FBD′=∠OCA，

又∵∠D′EP′=∠AOC=90°，

∴△D′EP′∽△COA，

∴，即，

解得：EP′=，

∴P′O=OE-EP=m-（）=-m，

∴P′B2=P′O2+OB2，即m2=(-m)2+42，

解得：m=-或m=，

∵m<0，

∴m=-，

∴OP′=-m=，

∴P′坐標(biāo)為（-，0），

②如圖，當(dāng)m>0時(shí)，過D′作EF⊥BD，交x軸于E，BD于F，P(m，m-4)，D(m，-4)，

∴P′D′=PD=m，BD′=BD=m，P′B2=PB2=m2，

同①可得△OCA∽△FBD′，△D′EP′∽△COA，

∴BF=OE=m，EP′=m，

∴P′O=OE+EP′=m+m=m，

∴P′O2+OB2=P′B2，即m2+42=m2，

解得：m=±8，

∵m>0，

∴m=8，

∴OP′=m=8，

∴P′坐標(biāo)為（8，0）.

綜上所述：P′坐標(biāo)為（-，0）或（8，0）.