Question

這是一個(gè)很著名的故事：阿基米德與國王下棋，國王輸了，國王問阿基米德要什么獎(jiǎng)賞？阿基米德對(duì)國王說：“我只要在棋盤上第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒…按這個(gè)方法放滿整個(gè)棋盤就行．”國王以為要不了多少糧食，就隨口答應(yīng)了，結(jié)果國王輸了．
（1）我們知道，國際象棋共有64個(gè)格子，則在第64格中應(yīng)放多少米？（用冪表示）
（2）請(qǐng)?zhí)骄康冢?）中的數(shù)的末位數(shù)字是多少？（簡要寫出探究過程．）
（3）你知道國王輸給了阿基米德多少粒米嗎？為解決這個(gè)問題，我們先來看下面的解題過程：
用分?jǐn)?shù)表示無限循環(huán)小數(shù)：0.

•

2

．
解：設(shè)0.

•

2

①．等式兩邊同時(shí)乘以10，得10x=2.

•

2

②．
將②-①得：9x=2，則x=

2

9

．∴0.

•

2

=

2

9

請(qǐng)參照以上解法求出國王輸給阿基米德的米粒數(shù)（用冪的形式表示）

Answer 1

分析：（1）觀察發(fā)現(xiàn)，第n個(gè)格子里的米粒數(shù)是2為底數(shù)，n-1作為指數(shù)；
（2）通過計(jì)算可以看出，個(gè)位數(shù)是以4項(xiàng)為一組循環(huán)的，用63除以4，余數(shù)是幾就與第幾項(xiàng)的個(gè)位數(shù)相同；
（3）利用信息，這列數(shù)都乘以2，再相減即可求出．

解答：解：（1）第64個(gè)格子，應(yīng)該底數(shù)是2，指數(shù)63，所以為2⁶³；

（2）∵2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，2⁵=32…
∵63÷4=15…3，
∴2⁶³的末位數(shù)字與2³的末位數(shù)字相同，是8；

（3）設(shè)x=1+2+2²+…+2⁶³①．
等式兩邊同時(shí)乘以2，得2x=2+2²+2³+…+2⁶⁴②
②-①，得x=2⁶⁴-1．
答：國王輸給阿基米德的米粒數(shù)為2⁶⁴-1．

點(diǎn)評(píng)：本題屬于信息給予題，讀懂題目信息是解題的關(guān)鍵．