Question

小雅同學(xué)在學(xué)習(xí)圓的基本性質(zhì)時(shí)發(fā)現(xiàn)了一個(gè)結(jié)論：如圖，在⊙O中，OM⊥弦AB于點(diǎn)M，ON⊥弦CD于點(diǎn)N，若OM=ON，則AB=CD．
（1）請(qǐng)幫小雅證明這個(gè)結(jié)論； 
（2）運(yùn)用以上結(jié)論解決問題：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O為△ABC的角平分線的交點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的⊙O與△ABC三邊分別相交于點(diǎn)D、E、F、G，若AD=9，CF=2，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）連結(jié)OA，OC，
∵OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=AB，CN=CD，在Rt△AOM中，AM=，在Rt△CON中，CN=，
∵OA=OC，OM=ON，
∴AM=CN，
∴AB=CD；

（2）分別過(guò)O點(diǎn)作△ABC三邊的垂線，垂足分別為點(diǎn)P、M、N，連OA、OC，
∵O為△ABC的角平分線的交點(diǎn)，
∴OP=OM=ON，
∴DB=BE=GF，
∴DP=PB=BM=ME=FN=NG，
∴Rt△OAP≌Rt△OAN，Rt△OCM≌Rt△OCN，
∴AP=AN，CM=CN，
∴AD=AG=9，CE=CF=2，
設(shè)BD=x，則AB=9+x，BC=2+x，AC=11+x，
∵AC²=AB²+BC²，
∴（11+x）²=（9+x）²+（2+x）²，
∴x²=36，
∴x=6，
∴△ABC的周長(zhǎng)=9+x+2+x+11+x=3x+22=40．
分析：（1）連結(jié)OA，OC，根據(jù)垂徑定理得到AM=AB，CN=CD，再利用勾股定理得到AM=，CN=，又OA=OC，OM=ON即可得到結(jié)論；
（2）分別過(guò)O點(diǎn)作△ABC三邊的垂線，垂足分別為點(diǎn)P、M、N，連OA、OC，根據(jù)O為△ABC的角平分線的交點(diǎn)得到OP=OM=ON，根據(jù)（1）的結(jié)論得到DB=BE=GF，再根據(jù)垂徑定理得到DP=PB=BM=ME=FN=NG，易證得Rt△OAP≌Rt△OAN，Rt△OCM≌Rt△OCN，可得到AP=AN，CM=CN，則AD=AG=9，CE=CF=2，設(shè)BD=x，則AB=9+x，BC=2+x，AC=11+x，根據(jù)勾股定理得到關(guān)于x的方程，解方程求出x即可得到三角形的周長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合，用到的知識(shí)點(diǎn)是垂徑定理、勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)心的性質(zhì)等，關(guān)鍵是用x表示出AB、BC、AC的長(zhǎng)．