Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點的坐標(biāo)分別為(0，－2)，(0，8)，以AB為一邊作正方形ABCD，再以CD為直徑的半圓P．設(shè)x軸交半圓P于點E，交邊CD于點F．

(1)求線段EF的長；

(2)連接BE，試判斷直線BE與⊙P的位置關(guān)系，并說明你的理由；

(3)直線BE上是否存在著點Q，使得以Q為圓心、r為半徑的圓，既與y軸相切又與⊙P外切？若存在，試求r的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)連接PE， 　　(2)(解法一) 　　∵ 　　∴Rt△BOE∽Rt△EFP 　　∴∠OBE＝∠FEP 　　 　　∴相切　　(7分) 　　(解法二)連接PB， 　　在Rt△PCB中，PB2＝PC2＋BC2＝52＋102＝125 　　在Rt△BOE中，BE2＝BO2＋OE2＝82＋62＝100 　　在△PEB中，BE2＋PE2＝100＋25＝PB2 　　∴∠PEB＝90°　　(6分) 　　(3)連接PQ，∵⊙Q與⊙P外切　∴PQ＝r＋5　　(8分) 　　過Q作QM⊥y軸于M，交CD于N 　　∵⊙Q與y軸相切 　　∴QM＝r　∴QN＝MN－QM＝10－r　　(9分) 　　∵MQ∥OE△BMQ∽△BOE 　　 　　∴NP＝NF－PF＝MO－PF＝BO－BM－PF＝5－　　(11分) 　　(另解：直線DE所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為，設(shè)Q(r，h)，代入得，即，從而) 　　在Rt△QNP中，QN2＋NP2＝PQ2 　　 　　解得，