Question

如圖所示，在平面上有過(guò)同一點(diǎn)P，并且半徑相等的n個(gè)圓，其中任何兩個(gè)圓都有兩個(gè)交點(diǎn)，任何三個(gè)圓除P點(diǎn)外無(wú)其他公共點(diǎn)，那么試問(wèn)：

(1)這n個(gè)圓把平面劃分成多少個(gè)平面區(qū)域？

(2)這n個(gè)圓共有多少個(gè)交點(diǎn)？

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)在圖中，設(shè)以P點(diǎn)為公共點(diǎn)的圓有1，2，3，4，5個(gè)(取這n個(gè)特定的圓)，觀察平面被它們所分割成的平面區(qū)域有多少個(gè)？為此，我們列出下表． 　　由表易知 　　S2－S1＝2，S3－S2＝3，S3－S3＝4，S5－S4＝5，…… 　　由此，不難推測(cè)Sn－Sn－1＝n． 　　把上面(n－1)個(gè)等式左、右兩邊分別相加，就得到 　　Sn－S1＝2＋3＋4＋…＋n， 　　因?yàn)镾1＝2，所以 　　Sn＝2＋2＋3＋…＋n＝1＋(1＋2＋3＋…＋n) 　　 　　這就證明了當(dāng)n個(gè)圓過(guò)點(diǎn)P時(shí)，可把平面劃分為個(gè)平面區(qū)域． 　　下面對(duì)Sn－Sn－1＝n，即Sn＝Sn－1＋n的正確性略作說(shuō)明． 　　因?yàn)镾n－1為n－1個(gè)圓把平面劃分的區(qū)域數(shù)，當(dāng)再加上一個(gè)圓，即當(dāng)n個(gè)圓過(guò)定點(diǎn)P時(shí)，這個(gè)加上去的圓必與前n－1個(gè)圓相交，所以這個(gè)圓就被前n－1個(gè)圓分成n部分，加在Sn－1上，所以有Sn＝Sn－1＋n． 　　(2)與(1)一樣，同樣用觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的方法來(lái)解決．為此，可列出下表． 　　由表容易發(fā)現(xiàn) 　　a1＝1， 　　a2－a1＝1，a3－a2＝2，a4－a3＝3，a5－a4＝4，…… 　　an－1－an－2＝n－2，an－an－1＝n－1． 　　n個(gè)式子相加 　　 　　所以，當(dāng)有滿足條件的n個(gè)圓過(guò)P點(diǎn)時(shí)，這n個(gè)圓共有個(gè)交點(diǎn)．