Question

【題目】已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過A（－4，3）、B（2，0）兩點(diǎn)，當(dāng)x=3和x=－3時(shí)，這條拋物線上對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等．經(jīng)過點(diǎn)C（0，－2）的直線l與 x軸平行，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

（1）求直線AB和這條拋物線的解析式；

（2）以A為圓心，AO為半徑的圓記為⊙A，判斷直線l與⊙A的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）設(shè)直線AB上的點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為－1，P（m，n）是拋物線y＝ax2＋bx＋c上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PDO的周長最小時(shí)，求四邊形CODP的面積．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2-1.

（2）直線l與⊙A相切

（3）

【解析】（1）因?yàn)楫?dāng)x=3和x=－3時(shí)，這條拋物線上對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，故b=0.

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把A（－4，3）、B（2，0）代入到y＝ax2＋bx＋c，得

解得

∴這條拋物線的解析式為y＝x2-1.

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b，把A（－4，3）、B（2，0）代入到y=kx+b，得

解得

∴這條直線的解析式為y＝-x+1.

（2）依題意，OA=即⊙A的半徑為5.

而圓心到直線l的距離為3+2=5.

即圓心到直線l的距離=⊙A的半徑，

∴直線l與⊙A相切.

（3）由題意，把x=-1代入y=-x+1，得y=，即D（-1， ）.

由（2）中點(diǎn)A到原點(diǎn)距離跟到直線y=-2的距離相等，且當(dāng)點(diǎn)A成為拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)時(shí)，仍然具有這樣的性質(zhì)，于是過點(diǎn)D作DH⊥直線l于H，交拋物線于點(diǎn)P，此時(shí)易得DH是D點(diǎn)到l最短距離，點(diǎn)P坐標(biāo)（-1，-）此時(shí)四邊形PDOC為梯形，面積為.