Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y=mx2+4x+1．

（1）當(dāng)拋物線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣5，6）時(shí)，求拋物線的表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若拋物線C：y=mx2+4x+1（m＞0）與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在﹣1和0之間（不包括﹣1和0），結(jié)合函數(shù)的圖象，求m的取值范圍；

（3）參考（2）小問(wèn)思考問(wèn)題的方法解決以下問(wèn)題：

關(guān)于x的方程x﹣4=在0＜x＜4范圍內(nèi)有兩個(gè)解，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+4x+1，（﹣2，﹣3）（2）3＜m≤4（3）﹣1＜a＜3

【解析】

試題分析：（1）把點(diǎn)A（﹣5，6）代入拋物線y=mx2+4x+1求出m的值，即可得出拋物線的表達(dá)式與頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）根據(jù)拋物線C：y=mx2+4x+1（m＞0）與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在﹣1和0之間可知當(dāng)x=﹣1時(shí)，y＞0，且△≥0，求出m的取值范圍即可；

（3）方程x﹣4=在0＜x＜4范圍內(nèi)有兩個(gè)解即拋物線y=x2﹣4x﹣a+3與x軸在0＜x＜4范圍內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，從而可得當(dāng)x=0時(shí)y＞0，x=4時(shí)y＞0，且△＞0，解之可得．

試題解析：（1）∵拋物線C：y=mx2+4x+1經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（﹣5，6），

∴6=25m﹣20+1，解得m=1，

∴拋物線的表達(dá)式為y=x2+4x+1=（x+2）2﹣3，

∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣3）；

（2）∵拋物線C：y=mx2+4x+1（m＞0）與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都在﹣1和0之間，

∴當(dāng)x=﹣1時(shí)，y＞0，且△≥0，即，

解得：3＜m≤4；,

（3）方程x﹣4=的解即為方程x2﹣4x﹣a+3=0的解，

而方程x2﹣4x﹣a+3=0的解即拋物線y=x2﹣4x﹣a+3與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

∵方程在0＜x＜4范圍內(nèi)有兩個(gè)解，

∴當(dāng)x=0時(shí)y＞0，x=4時(shí)y＞0，且△＞0，

即，

解得：﹣1＜a＜3．