Question

已知關(guān)于x的一元二次方程x²-4x+k=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．
（1）求k的取值范圍；
（2）如果k是符合條件的最大整數(shù)值，且關(guān)于x的方程x²-4x+k=0與x²-mx-1=0有一個(gè)相同的根，求此時(shí)m的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x²-4x+k=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，得出16-4k＞0，即可求出k的取值范圍；
（2）先求出k的值，再代入方程x²-4x+k=0，求出x的值，再把x的值代入x²-mx-1=0，即可求出m的值．

解答：解：（1）∵關(guān)于x的一元二次方程x²-4x+k=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
∴△=b²-4ac=16-4k＞0，
解得：k＜4；
∴k的取值范圍是k＜4；

（2）當(dāng)k＜4時(shí)的最大整數(shù)值是3，
則關(guān)于x的方程x²-4x+k=0是x²-4x+3=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
∵關(guān)于x的方程x²-4x+k=0與x²-mx-1=0有一個(gè)相同的根，
∴當(dāng)x₁=1時(shí)，1²-m-1=0，
解得：m=0，
當(dāng)x₂=3時(shí)，3²-3m-1=0，
解得：m=

8

3

．
答：m的值是0或

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，求出k的值；一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系：（1）△＞0?方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）△=0?方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）△＜0?方程沒有實(shí)數(shù)根．